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9.5 椭 圆,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 . 集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数: (1)若 ,则集合P为椭圆; (2)若 ,则集合P为线段; (3)若 ,则集合P为空集.,知识梳理,椭圆,焦点,焦距,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质,2a,2b,2c,a2b2c2,点P(x0,y0)和椭圆的关系 (1)点P(x0,y0)在椭圆内 (2)点P(x0,y0)在椭圆上 (3)点P(x0,y0)在椭圆外,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( ) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( ) (4)方程mx2ny21(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.( ),1.(教材改编)椭圆 的焦距为4,则m等于 A.4 B.8 C.4或8 D.12,考点自测,答案,解析,解得m4或m8.,2.(2015广东)已知椭圆 的左焦点为F1(4,0),则m等于 A.2 B.3 C.4 D.9,答案,解析,由题意知25m216,解得m29,又m0,所以m3.,3.(2016全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为,答案,解析,4.如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是_.,答案,解析,(0,1),即k0,所以0k1.,5.(教材改编)已知点P是椭圆 1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为 _.,答案,解析,设P(x,y),由题意知c2a2b2541, 所以c1,则F1(1,0),F2(1,0),由题意可得点P到x轴的距离为1,,题型分类 深度剖析,例1 (2016济南模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆,题型一 椭圆的定义及标准方程,命题点1 利用定义求轨迹,答案,解析,几何画板展示,由条件知|PM|PF|. |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.,命题点2 利用待定系数法求椭圆方程,例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的3倍,并且 过点P(3,0),则椭圆的方程为_.,答案,解析,答案,解析,设椭圆方程为mx2ny21(m0,n0且mn). 椭圆经过点P1,P2,点P1,P2的坐标适合椭圆方程.,命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题,答案,解析,3,设|PF1|r1,|PF2|r2,,4a24c24b2, 又 r1r2 b29,b3.,引申探究,1.在例3中增加条件“PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程.,由原题得b2a2c29, 又2a2c18, 所以ac1,解得a5,,解答,解答,|PF1|PF2|2a,又F1PF260, 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2, 即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2, 所以3|PF1|PF2|4a24c24b2,,所以b3.,思维升华,(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0,n0,mn)的形式. (3)当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|;通过整体代入可求其面积等.,跟踪训练1 (1)已知两圆C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为,答案,解析,几何画板展示,设圆M的半径为r, 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|, 所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆, 且 2a16,2c8,,答案,解析,PF1PF2,F1PF290. 设|PF1|m,|PF2|n, 则mn4,m2n212,2mn4,,例4 (1)已知点F1,F2是椭圆x22y22的左,右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么 的最小值是,题型二 椭圆的几何性质,A.0 B.1 C.2 D.2,答案,解析,(2)(2016全国丙卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C: (ab0)的左焦点,A,B分别为椭圆C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为,答案,解析,(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系. 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2b2c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.,思维升华,答案,解析,解得B,C两点坐标为,又因为b2a2c2.,题型三 直线与椭圆,解答,又a2c2b23,所以c21,因此a24.,(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围.,解答,设直线l的斜率为k(k0), 则直线l的方程为yk(x2).,整理得(4k23)x216k2x16k2120.,由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),,在MAO中,MOAMAO|MA|MO|,,思维升华,(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.,提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.,解答,则4x25y280与yx4联立,,解答,(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.,椭圆右焦点F的坐标为(2,0), 设线段MN的中点为Q(x0,y0), 由三角形重心的性质知,又B(0,4),(2,4)2(x02,y0), 故得x03,y02, 即Q的坐标为(3,2). 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1x26,y1y24,,即6x5y280.,高考中求椭圆的离心率问题,高频小考点8,离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.,考点分析,典例1 (2015福建)已知椭圆E: (ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x4y0交椭圆E于A,B两点.若|AF|BF|4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值范围是,答案,解析,左焦点F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形. |AF|BF|4, |AF|AF0|4, a2.,典例2 ( 12分) (2016浙江)如图,设椭圆 y21(a1). (1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);,解答,设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM,,(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.,解答,假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2, 且k10,k20,k1k2. 5分,因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1,所以a .,因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a , 10分,课时作业,1.(2016湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点,离心率e ,且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合,则此椭圆方程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由已知可得抛物线的焦点为(1,0),所以c1,,解得a2,b2a2c23,,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当94k0,即4k5时, a3,c29(4k)5k,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,c2k5,,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长,给出下列式子: a1c1a2c2;a1c1a2c2; ;c1a2a1c2. 其中正确式子的序号是 A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,观察图形可知a1c1a2c2,即式不正确;a1c1a2c2|PF|,即式正确;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016贵州七校
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