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9.2 两条直线的位置关系,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,(1)两条直线平行与垂直 两条直线平行: ()对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1l2 . ()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1l2. 两条直线垂直: ()如果两条直线l1、l2的斜率存在,设为k1、k2,则有l1l2 .,1.两条直线的位置关系,知识梳理,k1k2,k1k21,直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,则l1与l2的交点坐标 就是方程组 的解.,()当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1l2. (2)两条直线的交点,2.几种距离,(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2| .,(2)点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离d .,(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离 d .,1.直线系方程 (1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC). (2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR). 2.两直线平行或重合的充要条件 直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20平行或重合的充要条件是 .,A1B2A2B10,3.两直线垂直的充要条件 直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20垂直的充要条件是 . 4.过直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R),但不包括l2. 5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件: (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.,A1A2B1B20,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于1.( ) (3)已知直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数),若直线l1l2,则A1A2B1B20.( ),(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) (6)若点A,B关于直线l:ykxb(k0)对称,则直线AB的斜率等于 ,且线段AB的中点在直线l上.( ),1.(2016天津模拟)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是 A.x2y10 B.x2y10 C.2xy20 D.x2y10,考点自测,答案,解析,所以所求直线方程为x2y10.,2.(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1,则a等于,答案,解析,3.已知直线l过圆x2(y3)24的圆心,且与直线xy10垂直,则l的方程是 A.xy20 B.xy20 C.xy30 D.xy30,圆x2(y3)24的圆心为点(0,3), 又因为直线l与直线xy10垂直, 所以直线l的斜率k1. 由点斜式得直线l:y3x0,化简得xy30.,答案,解析,4.(2017 朝阳调研)已知过点A(2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2xy10为l2,直线xny10为l3,若l1l2,l2l3,则实数mn的值为 A.10 B.2 C.0 D.8,答案,解析,解得n2,mn10.,5.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直,则a_.,答案,解析,0或1,由两直线垂直的充要条件,得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0,解得a0或a1.,题型分类 深度剖析,题型一 两条直线的平行与垂直,例1 (1)设不同直线l1:2xmy10,l2:(m1)xy10.则“m2”是“l1l2”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,当m2时,代入两直线方程中, 易知两直线平行,即充分性成立. 当l1l2时,显然m0,从而有 m1, 解得m2或m1, 但当m1时,两直线重合,不合要求, 故必要性成立,故选C.,(2)已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a1)ya210. 试判断l1与l2是否平行;,解答,方法一 当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1不平行于l2; 当a0时,l1:y3, l2:xy10,l1不平行于l2;,综上可知,a1时,l1l2.,方法二 由A1B2A2B10, 得a(a1)120, 由A1C2A2C10,得a(a21)160,,故当a1时,l1l2.,当l1l2时,求a的值.,解答,方法一 当a1时,l1:x2y60,l2:x0, l1与l2不垂直,故a1不成立; 当a0时,l1:y3,l2:xy10,l1不垂直于l2; 当a1且a0时,,思维升华,(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.,跟踪训练1 已知两直线l1:xysin 10和l2:2xsin y10,求的值,使得: (1)l1l2;,解答,方法一 当sin 0时,直线l1的斜率不存在, l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.,方法二 由A1B2A2B10,得2sin210,,又B1C2B2C10,所以1sin 0,即sin 1.,(2)l1l2.,解答,因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件, 所以2sin sin 0,即sin 0,所以k,kZ. 故当k,kZ时,l1l2.,题型二 两条直线的交点与距离问题,例2 (1)(2016长沙模拟)求经过两条直线l1:xy40和l2:xy20的交点,且与直线2xy10垂直的直线方程为_.,答案,解析,x2y70,l1与l2的交点坐标为(1,3). 设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0, 则123c0,c7. 所求直线方程为x2y70.,(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等,则直线l的方程为_.,答案,解析,x3y50或x1,方法一 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y2k(x1),即kxyk20.,即|3k1|3k3|,,即x3y50. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x1,也符合题意. 故所求直线l的方程为x3y50或x1.,即x3y50. 当l过AB的中点时,AB的中点为(1,4). 直线l的方程为x1. 故所求直线l的方程为x3y50或x1.,思维升华,(1)求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程. (2)利用距离公式应注意:点P(x0,y0)到直线xa的距离d|x0a|,到直线yb的距离d|y0b|;两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.,跟踪训练2 (1)如图,设一直线过点(1,1),它被两平行直线l1:x2y10,l2:x2y30所截的线段的中点在直线l3:xy10上,求其方程.,解答,与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20. 设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0, 即(1)x(2)y20.又直线过(1,1), (1)(1)(2)120.,所求直线方程为2x7y50.,(2)(2016济南模拟)若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:xy50,l2:xy150上移动,则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是,答案,解析,x1y150,x2y2150. (x1x2)(y1y2)20,即xy10. yx10,P(x,x10),,题型三 对称问题,命题点1 点关于点中心对称,例3 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2xy80和l2:x3y100截得的线段被点P平分,则直线l的方程为_.,答案,解析,x4y40,设l1与l的交点为A(a,82a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(a, 2a6)在l2上,代入l2的方程得a3(2a6)100,解得a4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x4y40.,命题点2 点关于直线对称,例4 如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是,答案,解析,直线AB的方程为xy4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(2,0).,命题点3 直线关于直线的对称问题,例5 (2016泰安模拟)已知直线l:2x3y10,求直线m:3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.,解答,在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上. 设对称点M(a,b),则,设直线m与直线l的交点为N,则,得N(4,3). 又m经过点N(4,3). 由两点式得直线m的方程为9x46y1020.,思维升华,解决对称问题的方法 (1)中心对称,直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 点A(a,b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m,n),则,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.,跟踪训练3 已知直线l:3xy30,求: (1)点P(4,5)关于l的对称点;,解答,设P(x,y)关于直线l:3xy30的对称点为P(x,y),,又PP的中点在直线3xy30上,,把x4,y5代入得x2,y7, P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7).,(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程;,解答,用分别代换xy20中的x,y,,化简得7xy220.,(3)直线l关于(1,2)的对称直线.,解答,在直线l:3xy30上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M(x,y),,l关于(1,2)的对称直线平行于l,k3, 对称直线方程为y13(x2), 即3xy50.,一、平行直线系 由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系. 典例
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