第五章第五章 数数 列列 深研高考备考导航 为教师备课、授课提供丰富教学资源 五年考情 重点关注 1从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题，其中解答题 与解三角形交替考查，中低档难度 2从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、an与Sn的关系、递推公式以及数列 求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题 3从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查，加大 对探究、创新能力的考查力度 导学心语 1重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数 列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量的计算 2重视an与Sn关系、递推关系的理解与应用，加强由Sn求an，由递推关系求通项， 由递推关系证明等差、等比数列的练习 3数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题，等差(比) 数列中共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n， “知三求二” ，体现了方程思想的应用 一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相减、倒序 相加、裂项相消、分组法等求和方法 重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力 第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 考纲传真 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了 解数列是自变量为正整数的一类函数 1数列的定义 按照一定次序排列着的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项 2数列的分类 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法 4数列的通项公式 如果数列an的第n项an与 n之间的函数关系可以用一个式子表示成anf (n)，那 么这个式子就叫作这个数列的通项公式 5若一个数列首项确定，其余各项用an与an1的关系式表示(如an2an11，n2 且nN N*)，则这个关系式称为数列的递推公式 6an与Sn的关系 若数列an的前n项和为Sn，通项为an， 则anError! 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( ) (3)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN N*，都有an1Sn1Sn.( ) (4)若已知数列an的递推公式为an1，且a21，则可以写出数列an的任 1 2an1 何一项( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为( ) A15 B16 C49 D64 A A 当n8 时，a8S8S7827215. 3把 1,3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成 一个正三角形(如图 511) 图 511 则第 7 个三角形数是( ) A27 B28 C29 D30 B B 由题图可知，第 7 个三角形数是 123456728. 4(教材改编)数列 1，的一个通项公式an是_. 2 3 3 5 4 7 5 9 【导学号：66482230】 由已知得，数列可写成 ，故通项为. n 2n1 1 1 2 3 3 5 n 2n1 5(2014全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_. 1 1an 由an1，得an1， 1 2 1 1an 1 an1 a82，a71 ， 1 2 1 2 a611，a512， 1 a7 1 a6 an是以 3 为周期的数列，a1a7 . 1 2 由数列的前几项归纳数列的通 项公式 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，； (2) ， ， ，； 1 2 3 4 7 8 15 16 31 32 (3)1,7，13,19，； (4)3,33,333,3 333，. 解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以an2n1. 3 分 (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24， 所以an. 6 分 2n1 2n (3)数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第 2 项起，每一项的绝对值总比它的前一 项的绝对值大 6. 故通项公式为an(1)n(6n5). 9 分 (4)将数列各项改写为 ， ，分母都是 3，而分子分别是 9 3 99 3 999 3 9 999 3 101,1021,1031,1041， 所以an (10n1). 12 分 1 3 规律方法 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想 2若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出 来对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整，可代入验证归纳的正确性 变式训练 1 (1)数列 0，的一个通项公式为( ) 2 3 4 5 6 7 Aan(nN N*) n1 n1 Ban(nN N*) n1 2n1 Can(nN N*) 2n1 2n1 Dan(nN N*) 2n 2n1 (2)数列an的前 4 项是 ，1， ， ，则这个数列的一个通项公式是an_. 3 2 7 10 9 17 【导学号：66482231】 (1)C C (2) (1)注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可 2n1 n21 (2)数列an的前 4 项可变形为，故an 2 11 121 2 21 221 2 31 321 2 41 421 . 2n1 n21 由an与Sn的关系求通项an 已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式： (1)Sn2n23n； (2)Sn3nb. 【导学号：66482232】 解 (1)a1S1231， 当n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，3 分 由于a1也适合此等式，an4n5. 5 分 (2)a1S13b， 当n2 时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1. 7 分 当b1 时，a1适合此等式 当b1 时，a1不适合此等式. 10 分 当b1 时，an23n1； 当b1 时，anError!12 分 规律方法 由Sn求an的步骤 (1)先利用a1S1求出a1； (2)用n1 替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时an的表达式； (3)对n1 时的结果进行检验，看是否符合n2 时an的表达式，如果符合，则可以 把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式 易错警示：利用anSnSn1求通项时，应注意n2 这一前提条件，易忽视验证 n1 致误 变式训练 2 (2017石家庄质检(二)已知数列an的前n项和为Sn，若 Sn2an4(nN N*)，则an( ) A2n1 B2n C2n1 D2n2 A A 由Sn2an4 可得Sn12an14(n2)，两式相减可得an2an2an1(n2)， 即an2an1(n2)又a12a14，a14，所以数列an是以 4 为首项，2 为公比的等比 数列，则an42n12n1，故选 A. 由递推公式求数列的通项公式 根据下列条件，确定数列an的通项公式： (1)a12，an1an3n2； (2)a11，an12nan； (3)a11，an13an2. 【导学号：66482233】 解 (1)an1an3n2， anan13n1(n2)， an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 (n2) n3n1 2 当n1 时，a1 (311)2 符合公式， 1 2 ann2 . 4 分 3 2 n 2 (2)an12nan，2n1(n2)， an an1 ana1 an an1 an1 an2 a2 a1 2n12n2212123(n1)2. nn1 2 又a11 适合上式，故an2. 8 分 nn1 2 (3)an13an2，an113(an1)， 又a11，a112， 故数列an1是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an123n1，因此an23n11. 12 分 规律方法 1.已知a1，且anan1f (n)，可用“累加法”求an；已知a1(a10)， 且f (n)，可用“累乘法”求an. an an1 2已知a1，且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)， 可转化为ank为等比数列 易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式，(3)中常见错 误是忽视判定首项是否为零 变式训练 3 (2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足 a11，a(2an11)an2an10. 2n (1)求a2，a3； (2)求an的通项公式 解 (1)由题意可得a2 ，a3 . 4 分 1 2 1 4 (2)由a(2an11)an2an10 得 2n 2an1(an1)an(an1). 7 分 因为an的各项都为正数，所以 . 9 分 an1 an 1 2 故an是首项为 1，公比为 的等比数列，因此an. 12 分 1 2 1 2n1 思想与方法 1数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性， 又要考虑数列方法的特殊性 2anError! 3由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是： (1)an1anf (n)型，采用叠加法 (2)f (n)型，采用叠乘法 an1 an (3)an1panq(p0，p1)型，转化为等比数列解决 易错与防范 1数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且 还与这些“数”的排列次序有关 2易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指 数列的项对应的位置序号 3在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽视先求出a1，而是直接把数列的通 项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2 的情形