反比例函数及其应用,一、反比例函数解析式的三种形式 1.y=_(k0，k为常数). 2.y=k_(k0，k为常数). 3.xy=_(k0，k为常数).,x-1,k,二、反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y= (k为常数，k0)的图象是_，且关于_对称.,双曲线,原点,2.反比例函数 (k为常数，k0)的图象和性质,一、三,减小,二、四,增大,【思维诊断】(打“”或“”) 1.若 是反比例函数，则a的取值为1. ( ) 2.若反比例函数 的图象过点(5，-1)，则实数k的值是-5. ( ) 3.反比例函数 中，y随着x的增大而减小. ( ) 4.若点A(1，y1)，B(2，y2)都在反比例函数 (k0)的图象 上，则y1，y2的大小关系为y1y2. ( ),热点考向一 反比例函数的图象和性质 【例1】(1)(2014常德中考)下列关于反比例函数 的三 个结论：它的图象经过点(7，3)；它的图象在每一个象限 内，y随x的增大而减小；它的图象在二、四象限内.其中正 确的是 . (2)(2014连云港中考)若函数 的图象在同一象限 内，y随x的增大而增大，则m的值可以是 .(写出一个 即可),【思路点拨】(1)根据解析式判断“k”的符号，再根据反比例函数的性质进行判断. (2)根据在同一象限内，y随x的增大而增大确定m-1的符号，再确定m的取值范围.,【自主解答】(1)对于反比例函数 ，当x=7时，y= =3，所以函数图象经过点(7，3)，k=210，所以函数 的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小. 答案：,(2)若函数 的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m-10，所以m1，所以m的值可以是0. 答案：0(答案不唯一),【规律方法】比较反比例函数上的点的坐标值的大小 先要判断是同一象限还是不同象限内的点，同一象限内的点可根据函数的增减性进行比较；不同象限内的点，可根据纵坐标的正、负性进行比较；更直观的方法是利用函数图象进行比较.,【真题专练】 1.若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是 ( ) A.0 B.2 C.3 D.4 【解析】选A.因为k-10，所以k1，在4个选项中，只有A适合.,2.函数 (a0)与y=a(x-1)(a0)在同一坐标系中的大致图象是 ( ),【解析】选A.当a0时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，而双曲线分布在第一、三象限，A选项符合题意，故应选A.,【方法技巧】根据反比例函数的图象确定k的取值的方法 一看所在象限：若双曲线两个分支在第一、三象限，则k0；若双曲线两个分支在第二、四象限，则k0；若双曲线在两个分支的每个分支中，y随x的增大而增大，则k0.,3.关于反比例函数 的图象，下列说法正确的是 ( ) A.图象经过点(1，1) B.两个分支分布在第二、四象限 C.两个分支关于x轴成轴对称 D.当x0时，y随x的增大而减小,【解析】选D.k=20， 图象的每个分支，都有y随x的增大而减小.,热点考向二 确定反比例函数的解析式 【例2】反比例函数 的图象经过点(-2，3)，则k的值为 ( ) A.6 B.-6 C. D. 【思路点拨】将点的坐标代入反比例函数的解析式求解.,【自主解答】选C.将点的坐标(-2，3)代入得 ， 解得 .,【规律方法】用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤 1.设出解析式 (k是常数，k0). 2.把已知的一对x，y的值代入解析式，得到关于待定系数k的方程. 3.解这个方程求出待定系数k. 4.将所求得的待定系数k的值代回所设的解析式中.,【真题专练】 1.已知反比例函数 的图象经过点(2，3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 ( ) A.(-6，1) B.(1，6) C.(2，-3) D.(3，-2),【解析】选B.根据反比例函数 的图象经过点(2，3)，可得k=6，所给的四个选项中横纵坐标的乘积等于6的只有B选项中的(1，6)，故(1，6)也在这个函数图象上.,2.如图，已知直线y=-x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点， 与双曲线 交于E，F两点，若AB=2EF，则k 的值是 ( ) A.-1 B.1 C. D.,【解析】选D.直线y=-x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则点A(2，0)，点B(0，2)， AOB是等腰直角三角形，AB= . 又AB=2EF，EF= . 设点E的横坐标为x1，点F的横坐标为x2，则x1-x2=1. x2-2x+k=0.,x1，x2是方程x2-2x+k=0的两个根， x1+x2=2，x1x2=k， (x1-x2)2=(x1+x2)2-4k，1=4-4k，解得 .,【知识拓展】利用待定系数法求反比例函数的解析式的注意 事项： 如果y与x成反比例，则可设 ；若是y与x2成反比例，则要 设为 .同理，如果y与x+1成反比例，则应该设为 .,3.已知反比例函数 ，当x=2时，y=3. (1)求m的值. (2)当3x6时，求函数值y的取值范围.,【解析】(1)把x=2，y=3代入 得到5-m=6，所以m=-1. (2)当x=3时，由 得y=2； x=6时，由 得y=1. 当3x6时，y随x的增大而减小， 所以函数值的范围是1y2.,热点考向三 反比例函数的应用 【例3】在一个可以改变体积的密闭容器内 装有一定质量的某种气体，当改变容器的 体积时，气体的密度也会随之改变.密度 (单位：kg/m3)与体积V(单位：m3) 满足函数关系式 (k为常数，k0)，其图象如图所示，则k的值为 ( ) A.9 B.-9 C.4 D.-4,【思路点拨】分析函数图象可知过点A(6，1.5)，把(6，1.5)代入 即可求得k的值.,【自主解答】选A.把V=6，=1.5代入 得，k=9.,【规律方法】建立反比例函数模型解决实际问题的两种思路 1.通过问题提供的信息，知道变量之间有什么关系，在这种情况下，可先设出函数表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数即可. 2.问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，此时要通过分析，找出变量间的关系并确定函数表达式.,【真题专练】 1.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF=x(0.2x0.8)，EC=y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是 ( ),【解析】选C.由题意知，ADFBEF，所以 ， 即 所以 ，y与x之间的函数 关系是反比例函数，所以选C.,2.已知矩形的面积为36cm2，相邻两条边长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数图象大致是 ( ),【解析】选A.依题意，xy=36， ，其图象为位于一、三象限的双曲线，且在每个象限内y随x的增大而减小.又x0，图象为第一象限的一个分支，故选A.,热点考向 与反比例函数有关的综合题 【例】 如图，在直角坐标系xOy中， 直线y=mx与双曲线 相交于 A(-1，a)、B两点，BCx轴，垂足为C， AOC的面积是1. (1)求m，n的值； (2)求直线AC的解析式.,【思路点拨】 (1) (2),【自主解答】(1)直线y=mx与双曲线 相交于A(-1，a)，B两点， A，B两点关于原点O对称. A(-1，a)， B点横坐标为1，而BCx轴， C(1，0). AOC的面积为1，A(-1，2). 将A(-1，2)代入y=mx， ， 可得m=-2，n=-2.,(2)设直线AC的解析式为：y=kx+b(k0). y=kx+b经过点A(-1，2)，C(1，0)， 解得k=-1，b=1. 直线AC的解析式为y=-x+1.,【规律方法】一次函数与反比例函数的综合应用的三个方面 1.探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法. 2.探求两函数解析式常利用两函数图象的交点坐标. 3.探求两图象交点坐标，常利用解方程(组)的方法求解.,【真题专练】 1.如图，正比例函数y1与反比例函数y2 相交于点E(-1，2)，若y1y20，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是( ),【解析】选A.正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(-1， 2)，根据图象可知当y1y20时x的取值范围是x-1，在数 轴上表示为： ，故选A.,2.已知反比例函数 (k0)和一次函数y=x-6， (1)若一次函数与反比例函数的图象交于点P(2，m)，求m和k的值. (2)当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？,【解析】(1)把点P(2，m)代入y=x-6，得m=-4， P(2，-4).将P(2，-4)代入反比例函数 ，得k=-8. (2)由 得 =x-6，x2-6x-k=0， 两函数的图象没有交点，(-6)2+4k0，即k-9.,3.已知反比例函数 (m为常数) 的图象在一、三象限. (1)求m的取值范围. (2)如图，若该反比例的图象经过ABOD 的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(-2，0). 求出函数解析式； 设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为 ；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 个.,【解析】(1)根据题意，得1-2m0，解得m . m的取值范围是m . (2)四边形ABOD是平行四边形，A(0，3)，B(-2，0)， D(2，3). 把D(2，3)代入 ，得 1-2m=6. 函数关系式为 . 点P坐标为(3，2)或(-2，-3)或(-3，-2)；点P的个数为2个.,命题新视角 反比例函数中的面积问题 【例】如图，函数y=-x与函数y=- 的 图象相交于A，B两点，过A，B两点分 别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D. 则四边形ACBD的面积为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,【审题视点】,【自主解答】选D.过函数 的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D， SAOC=SODB= |k|=2. 又OC=OD，AC=BD， SAOC=SODA=SODB=SOBC=2， 四边形ACBD的面积为：SAOC+SODA+SODB+SOBC=42=8.故选D.,【规律方法】反比例函数 (k0)中比例系数k的几何意义 1.过双曲线 (k0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形OAPB的面积为|k|. 2.过双曲线 (k0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .,【真题专练】 1.如图，A，B两点在双曲线 上， 分别经过A，B两点向轴作垂线段， 已知S阴影=1，则S1+S2= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,【解析】选D.点A，B是双曲线 上的点，分别经过A，B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，S1+S2=4+4-12=6.,2.如图，反比例函数 在第二象限的图象上有两点 A，B，它们横坐标分别为-1，-3，直线 AB与x轴交于点C，则AOC的面积为( ) A.8 B.10 C.12 D.24,【解析】选C.反比例函数 在第二象限的图象上有两 点A，B，它们的横坐标分别为-1，-3， x=-1，y=6；x=-3，y=2，A(-1，6)，B(-3，2)，设直线AB 的解析式为：y=kx+b，则 解得 所以y=2x+8， y=0时，x=-4，CO=4， AOC的面积为：