,小结与复习,第三章 圆,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,一、圆的基本概念及性质,1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.,2.有关概念:,(1)弦、直径(圆中最长的弦),(2)弧、优弧、劣弧、等弧,(3)弦心距,要点梳理,二、点与圆的位置关系,A,B,C,O,d,r,dr,d=r,dr,三、圆的对称性,1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.,2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.,3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等,4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”,若 CD是直径, CDAB,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,四、垂径定理及推论,垂径定理的逆定理,CDAB,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.,圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.,BAC= BOC,五、圆周角和圆心角的关系,推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.,ADB与AEB 、ACB 是同弧所对的圆周角,ADB=AEB =ACB,推论：直径所对的圆周角是直角；,90的圆周角所对的弦是圆的直径.,AB是O的直径, ACB=90,推论：圆的内接四边形的对角互补.,六、直线和圆的位置关系,l,d,r,dr,0,d=r,切线,dr,割线,2,dr,d=r,1,七、切线的判定与性质,1.切线的判定一般有三种方法： a.定义法：和圆有唯一的一个公共点 b.距离法： d=r c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径,切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.,切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.,2.切线长及切线长定理,八、三角形的内切圆及内心,1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.,2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.,3.这个三角形叫做圆的外切三角形.,4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.,三角形的内心到三角形的三边的距离相等.,重要结论,只适合于直角三角形,九、圆内接正多边形,O,C,D,A,B,M,半径R,圆心角,弦心距r,弦a,圆心,中心角,A,B,C,D,E,F,O,半径R,边心距r,中心,类比学习,圆内接正多边形,外接圆的圆心,正多边形的中心,外接圆的半径,正多边形的半径,每一条边所 对的圆心角,正多边形的中心角,边心距,正多边形的边心距,正多边形的内角和= 中心角=,圆内接正多边形的有 关概念及性质,（1）弧长公式： （2）扇形面积公式：,十、弧长及扇形的面积,例1 在图中，BC是O的直径，ADBC,若D=36,则BAD的度数是（ ） A. 72 B.54 C. 45 D.36 ,解析 根据圆周角定理的推论可知， B= D=36, BAC=90，所以BAD=54 ，故选B.,B,O,考点讲练,135,50,例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.,解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm, OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.,方法归纳 在涉及到求半径r、弦长a、弦心距d、弓形高h的问题时，通常构造直角三角形来解决.h=r-d, .,8,C,D,O,例3 如图， O的直径AE=4cm, B=30 ,则AC= .,2cm,解析 连接CE，则E= B=30 , ACE=90所以AC= AE=2cm.,方法归纳 有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决.,4.（多解题）如图，AB是O的直径，弦BC=2,F是弦BC的中点， ABC=60 .若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB A的方向运动，设运动时间为t（s) (0t3)连接EF，当t= s时， BEF是直角三角形.,F,思路点拨 根据圆周角定理得到直角三角形ABC，再根据含30交点直角三角形的性质得到AB=6cm，则当0t3时，即点E从点A到点B再到点O，此时和点O不重合，若BEF是直角三角形，则BFE=90或BFE=90.,例4 如图所示，已知NON=30，P是ON上的一点，OP=5，若以P点为圆心，r为半径画圆，使射线OM与P只有一个公共点，求r的值或取值范围.,解：当射线OM与P相切时，射线OM与P只有一个公共点. 过点P作PAOM于A，如图1所示. 在RtAOP中，r=PA=OPsinPOA=2.5（）.,当射线OM与P相交且点O在P内时，射线OM与P只有一个公共点.如图2所示. 射线OM与P相交，则r2.5 又点O在P内，则rOP，即r5 综合、可得r5. 综上所述，当射线OM与P只有一个公共点时，r=2.5或 r5.,图1 图2,本题之类的题目中，常因混淆了“直线与圆只有一个交点”和“线段与圆只有一个交点”或“射线与圆只有一个交点”的区别.实际上，当直线与圆只有一个交点时，直线与圆一定相切，而线段与圆只有一个交点或射线与圆只有一个交点时，它们与圆的位置关系可能相切，也可能是相交.,5.如图，直线l：y=x+1与坐标轴交于A，B两点，点 M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作M，当M与直线l相切时，则m的值为_,例5 如图，以ABC的边AB为直径的O交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与O是否相切？,解：BC与O相切 理由：连接OD，BD， DE切O于D，AB为直径， EDOADB90. 又DE平分CB，DE2(1)BCBE. EDBEBD. 又ODBOBD，ODBEDB90，OBDDBE90，即ABC90. BC与O相切,6. 已知：如图，PA，PB是O的切线，A、B为切点，过 上的一点C作O的切线，交PA于D，交PB于E. (1)若P70，求DOE的度数； (2)若PA4 cm，求PDE的周长,针对训练,解：(1)连接OA、OB、OC， O分别切PA、PB、DE于点A、B、C， OAPA，OBPB，OCDE，ADCD， BECE， OD平分AOC，OE平分BOC. DOE2(1)AOB. PAOB180，P70， DOE55.,(2)O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ADCD，BECE. PDE的周长PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm),例6 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.,【解析】观察图形看出，因为四边形ABCD是正方形，所以AC是圆的直径.由于AE，CF都与EF垂直，所以AE与CF平行，所以可以把CF平移到直线AE上，如果点E，F重合时，点C到达点CC的位置，则构造出一个直角三角形ACC，在这个直角三角形中利用勾股定理，即可求得正方形ABCD的外接圆的半径，进而求得阴影部分的面积.,解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C的位置.连接AC，如图所示.,根据平移的方法可知，四边形EFCC是矩形., AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8.,在RtACC中，得,正方形ABCD外接圆的半径为,正方形ABCD的边长为,当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 ”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.,7. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的O，四边形EFGH是正方形 求正方形EFGH的面积； 连接OF、OG，求OGF的度数,解：正六边形的边长与其半径相等，EF=OF=5. 四边形EFGH是正方形，FG=EF=5，正方形EFGH 的面积是25. 正六边形的边长与其半径相等，OFE=600. 正方形的内角是900，OFG=OFE +EFG= 600+900=1500. 由得OF=FG，OGF= （1800-OFG） = （1800-1500）=150.,例7 （1）一条弧所对的圆心角为135 ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 . （2）一个底面直径为10cm,母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度.,40cm,120,解析 (1)要熟记弧长公式及其变形式公式.即 及 ;还要熟记圆锥及其侧面展开图的存在的对应的数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径.,8.如下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm,下底面直径为4cm,母线长EF=8cm,求： （1）扇形OAB的圆心角； （2）这个纸杯的表面积.（面积计算结果保留用）.,解：（1）由题意知：AB=6， CD=4 ,设AOB=n ,AO=Rcm,则CO=（R-8）cm，由弧长变形公式得：,（,（,即,解得R=24.,针对训练,解：（2）由（1）知OA=24cm,则CO=24-8=16cm, S扇形OCD= cm2 . S扇形OAB= S纸杯侧=S扇形OAB-S扇形OCD =72 -32 =40 ， S纸杯底=4 ， S纸杯表=40 +4 =44 （cm2).,例8 如图，在平面直角坐标系中，P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，1）. （1）求证：CD=CF； （2）判断P与x轴的位置关系，并说明理由； （3）求直线AD的函数表达式.,解：（1）证明：过点D作DHx轴于H，则CHD=COF=90，如图所示. 点F（0，1），点D（6，-1），DH=OF=1. FCO=DCH， FOCDHC， CD=CF. （2）P与x轴相切.理由如下： 连接CP，如图所示. AP=PD，CD=CF，CPAF. PCE=AOC=90. P与x轴相切.,（3）由（2）可知CP是ADF的中位线. AF=2CP. AD=2CP，AD=AF. 连接BD，如图所示.AD为P的直径，ABD=90.,BD=OH=6，OB=DH=OF=1. 设AD=x，则AB=AFBF=ADBF=AD(OB+OF）= x2. 在RtABD中，由勾股定理，得 AD2=AB2+BD2，即x2=（x2）2+62， 解得 x=10.OA=AB+OB=8+1=9. 点A（0，9）. 设直线AD的函数表达式为y=kx+b， 把点A（0，9），D（6，1）