睿韬奥博 高中数学资料 一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师） 指数与指数函数指数与指数函数 【知识梳理知识梳理】 一、指数运算一、指数运算 1、根式、根式 （1）概念：若（） ，则称 x 为 a 的 n 次方根， “”是方根的记号 n xa Nnn且 1 n （2）a 的 n 次方根的性质： 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方 根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根 ； n n aa n 为奇数，=a；n 为偶数，=|a|= nn a nn a . 0, , 0, aa aa 2、有理数指数幂、有理数指数幂 （1）分数指数幂的意义： （注：无意义） ；)0( 1 0 Raaa且 0 0 ； ) 1, 0( * nNnmaaa nm n m ) 1, 0( 11 * nNnma a a a nm n m n m （2）指数幂的运算性质 ； (0, ,) rsr s aaaar sR ；(0, ,) rsr s aaaar sR ； (0, ,) s rrs aaar sR ( ,0,) r rr ababa brR 二、指数函数二、指数函数 1、指数函数的概念：、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为) 1, 0(aaay x 且 R 注意：注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 睿韬奥博 高中数学资料 一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师） 2、指数函数、指数函数的图象与性质的图象与性质) 1, 0(aaay x 01 图象 x O y=1 (0,1) xO y=1(0,1) 定义域定义域：R 值域为：值域为：(0,+ ) 过定点：过定点：(0,1)，即 x=0 时，y=1 当时，；0x10 y 当时，0x1y 当时，；0x1y 当时，0x10 y 性质 在在 R 上单调递减上单调递减在在 R 上单调递增上单调递增 【典型例题典型例题】 题型一、根式的化简、指数幂的运算题型一、根式的化简、指数幂的运算 例题例题 1：化简：（1）； （2）； （3） 7 7 )2( 4 4 )3( 4 4 )2( a 【解析】 （1）； （2）； （3）= 2)2( 7 7 3)3( 4 4 4 4 )2( a . 2 ,2 , 2, 2 aa aa 【点评】不注意 n 的奇偶性对式子的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准， nn a 记熟，会用，活用本题易错的是第（3）题，往往忽视 a 与 2 大小的讨论，造成错解 例题例题 2：计算：（1）； （2） 10 1 1 23 0.25610 23 23 33 3 3 6 3 【解析】 （1）原式；382032101 2 3 4 （2）3=333 3=3=32=93 3 3 6 3 2 1 3 1 6 1 6 1 3 1 2 1 1 【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂， 再由幂的运算性质来运算 变式变式 1：化简：（1）； ) 3 1 ()3)( 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 bababa yy 睿韬奥博 高中数学资料 一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师） （2）； 14623 )( yxyx)0, 0(yx （3）52 674 364 2 【解析】 （1）原式=；) 3 1 (3)( 6 1 2 1 3 2 a 6 5 3 1 2 1 baab99 0 （2）原式； 2 11 2 1 6 22 ) 2 1 (1) 2 1 (4 6 )6( 3 1 yyxyxyx （3）原式22223223)22()32()23( 222 【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式 变式变式 2：若，则_ 103 x 104 y 2 10 x y 【解析】 4 9 431010101010 2 2 22 yxyxyx 【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将、看作一个整体，再进行代数运10x10y 算 题型二、指数函数概念、定义域和值域题型二、指数函数概念、定义域和值域 例题例题 3：下列函数中属于指数函数的有（ ）个 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） x y32 1 3 x y x y)3( x y) 3 1 ( 2 3xy x y 4 x ay) 12( A2 B3 C4 D5 【解析】选 A只有（4） （6）属于指数函数的形式) 1, 0(aaay x 【点评】在判断是否为指数函数时，应严格按照的形式来判断，特别要注意函数中是否有表) 1, 0(aaay x 明的取值范围a 例题例题 4：求下列函数的定义域和值域：求下列函数的定义域和值域： （1） 2； （2）()； （3）y=ax-1 (a0，a1) y 4 1 x y 3 2 |x 【解析】 （1）令 x-40，则 x4，所以函数 y=2的定义域是xRx4 ， 4 1 x 又因为0，所以 21，即函数 y=2的值域是y|y0 且 y1 4 1 x 4 1 x4 1 x （2）因为-|x|0，所以只有 x=0. 因此函数 y=()的定义域是xx=0 3 2 |x 睿韬奥博 高中数学资料 一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师） 而 y=()=()0=1，即函数 y=()的值域是yy=1 3 2 |x 3 2 3 2 |x （3）定义域为 R，因为的值域为，所以的值域为 x ay ), 0( 1 x ay), 1( 【点评】由于指数函数 y=ax,(a0 且 a1)的定义域是 R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指 数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性 例题例题 5：如图，设 a,b,c,d0，且不等于 1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx 在同一坐标系中的图象如图，则 a,b,c,d 的大小顺序 【 】 A、a1 时，指数函数底数越大，图象越靠近 y 轴；当 05(+aaay x 【解析】因为 y=ax过点（0，1） ，所以当 x=0 时，y=1+5=6，所以原函数过定点（0,6） 【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点 变式变式 4：已知指数函数的图象过点（） ，, 3 （1）求的值； (-3)，(1)，(0)fff （2）利用图像比较三个函数值的大小 【解析】 （1）设指数函数 f (x)=ax（a0 且 a1）因为图象过点（3,） ，所以 f (3)=a3=，即 a= ，f (x)=( )x 3 1 3 1 再把 0,1,3 分别代入,得：f (0)=0=1，f (1)=1=，f (-3)=-1= 1 （2）由图易知 f (1)f (0)f (-3) 【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用 变式变式 5：当时，函数和的图象只可能是（ ）a 0yaxb ax by 1 x y O 1 x y O 1 x y O 1 x y O A B C D 【解析】选项 A 中一次函数，指数函数应是减函数，故 A 对1, 0ba y=dx y=cxy=bx y=ax O y x 睿韬奥博 高中数学资料 一对一贴心辅导 辅导老师：杨老师 睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。 报名电话：15750199340（杨老师） 选项 B 中一次函数，指数函数应是增函数，故 B 错1, 0ba 选项 C 中一次函数，指数函数应是减函数，故 C 错1, 0ba 选项 D 中一次函数，指数函数应是增函数，故 D 错1, 0ba 故答案选 A 【点评】利用一次函数和指数函数的关系来确定图象，是本题的关键ba, 题型三、解指数式方程、不等式题型三、解指数式方程、不等式 例题例题 6：解下列方程：（1）； （2）1232 1 xx 12 12 2 xx 【解析】 （1）；23661232 3 1 1232 1 x xxxxx （2）3401212 212 2 xxxx xx 或 【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解 例题例题 7：解下列不等式：（1）； （2）16 14 x14 2 2 1 x x 【解析】 （1） 4 1 01416 14 xx x （2） 5 1 14222 2 1 1414 xxx xxx x 【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解 变式变式 6：解下列方程：（1）； （2）27329 1 xx 2353 252 xx 【解析】 （1）原方程化为63-x27=0，(3-x3)(3-x9)=0 2 )3( x 3-x30，由 3-x9=0 得 3-x=32，故 x=2 是原方程的解 （2）原方程化为，0235)3(3 222 xx 0)23)(13( 23 xx ，得，0)23( 2 x 013 3 x 13 3 x 3x 【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1） ，把看成未知数，解得的一元二次方程 x 3x 的根等于，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验 x 3 题型四、指数函数性质的