23.1直线与平面垂直的判定直线与平面的垂直提出问题鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直问题1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？提示：不能问题2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？提示：直线垂直于平面内的两条相交直线问题3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？提示：不一定导入新知1直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足(2)图形语言：如图画直线l与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(3)符号语言：任意a，都有lal.2直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图所示(3)符号语言：a，b，abP，la，lbl.化解疑难1关于直线与平面垂直的定义的理解：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l.2判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直3要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.直线与平面所成的角提出问题斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成问题1：图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？提示：不同问题2：能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗？提示：能问题3：直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗？提示：能导入新知1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角2当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90.3当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0.4线面角的范围：090.化解疑难关于直线与平面所成的角的认识(1)把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段(2)其定义反映了求线面角的基本思想平面化思想，即把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解线面垂直的定义及判定定理的理解例1下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，则l；如果直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直A0B1C2 D3答案D类题通法1对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交2判定定理中要注意必须是平面内两相交直线活学活用下列说法中，正确的是()A若直线l与平面内无数条直线垂直，则lB若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C若ab，a，l，则lbD若ab，b，则a答案：C线面垂直的判定例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点求证：AD平面A1DC1.解证明：AA1底面ABC，平面A1B1C1平面ABC，AA1平面A1B1C1，A1C1AA1.又B1A1C190，A1C1A1B1.而A1B1AA1A1，A1C1平面AA1B1B.又AD平面AA1B1B，A1C1AD.由已知计算得AD，A1D，AA12.AD2A1D2AA，A1DAD.A1C1A1DA1，AD平面A1DC1.类题通法1用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法2线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直3解决线面垂直的常用方法：(1)利用勾股定理的逆定理(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线(3)利用线面垂直的定义(4)利用平行转化，即ab，bc，则ac.活学活用如图，四棱锥PABCD 中， AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC 的中点 (1)求证： AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC .证明：(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC 的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.直线与平面所成的角例3如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值解取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE3，于是在RtBEM中，sinEBM，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.类题通法求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算活学活用如图，已知BOC在平面内，OA是平面的斜线，且AOBAOC60，OAOBOC1，BC，求OA与平面所成的角的大小解：OAOBOC1，AOBAOC60，AOB，AOC为正三角形，ABAC1，又BC，BAC为直角三角形，同理BOC为直角三角形，取BC中点H，连接AH，则AHBC，易得AHBAOH，AHOH，AH平面，AOH为OA与所成的角，在RtAOH中，AH，sinAOH，AOH45，即AO与平面所成的角为45.典例(12分)如图，已知P是ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是ABC的垂心求证：PH平面ABC.解题流程规范解答 名师批注处易漏掉APBPP，PCCHC和ABBCB的条件，而直接证明出线面垂直，虽然结果正确，但不严密虽然写清了的条件，若没有写清楚处的条件或漏掉，都是不全面的，都容易失分若漏掉处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的如图所示，连接CH，PCAP，PCBP，APBPP，AP平面APB，BP平面APB，PC平面APB.(3分)AB平面APB，PCAB.(5分)H为ABC的垂心，CHAB.(7分)PCCHC，PC平面PHC，CH平面PHC，AB平面PHC.PH平面PHC，ABPH.(9分)同理可证PHBC.(10分)AB平面ABC，BC平面ABC且ABBCB，PH平面ABC.(12分)活学活用如图，已知PA圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AEPC于E.求证：AE平面PBC.证明：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.ACBC，ACPAA，BC平面PAC.AE平面PAC，BCAE.又PCAE，BCPCC，PC平面PBC，BC平面PBC，AE平面PBC.随堂即时演练1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边ABC D答案：A2.如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120答案：A3.如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成的角等于_答案：454已知正方形ABCD的边长为1，AP平面ABCD，且AP2，则PC_.答案：5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.证明：如图，连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD, AEDE，PAECDE.PECE，即PEC