第二课时 函数的最大(小)值,课标要求:1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求一些简单函数的最大值或最小值.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用.,自主学习新知建构自我整合,【情境导学】,导入 如图所示是某市房管局公布的2013年10月2014年9月该市房价走势图:,想一想 1:从导入图中能否得出2013年10月2014年9月房价的最大值? (在2014年5月,房价达到最大值,约为27 000元) 想一想 2:从导入图中能否得出2013年10月2014年9月房价的最小值? (在2013年12月,房价达到最小值,约为25 400元),知识探究,1.最大值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有f(x) M; 存在x0I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 点的 坐标. 探究:若函数f(x)M,则M一定是函数的最大值吗? 答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.,f(x0)=M,纵,高,2.最小值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有f(x) M; 存在x0I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最小值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 点的 坐标.,f(x0)=M,低,纵,自我检测,B,1.(最小值)函数y=-x2+2x-1在0,3上的最小值为( ) (A)0 (B)-4 (C)-1 (D)以上都不对 2.(最大值)函数f(x)=3-x2的最大值为( ) (A)3 (B)2 (C)0 (D)4,A,B,4.(最值的应用)若函数y=ax+1在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 .,答案:2,5.(最值)函数f(x)在-2,+)上的图象如图所示,则函数的最小值为 ;最大值为 .,答案:不存在 3,题型一,图象法求最值,课堂探究典例剖析举一反三,(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间; (2)根据函数的图象求出函数的最小值.,解:(1)函数的图象如图所示. 由图象可知f(x)的单调递增区间为(-,0)和0,+),无递减区间.,(2)由函数图象可知, 函数的最小值为f(0)=-1.,方法技巧 利用图象求函数最值的方法:画出函数y=f(x)的图象; 观察图象,找出图象的最高点和最低点; 写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.,即时训练1-1:作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是否存在最大值和最小值.,题型二,单调性法求最值,【例2】 已知函数f(x)= . (1)判断函数在区间(-1,+)上的单调性,并用定义证明你的结论;,(2)求该函数在区间2,4上的最大值和最小值.,方法技巧 (1)由函数单调性结合函数图象找出最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值. (2)分段函数的最大(小)值是函数整体上的最大(小)值.,(1)判断f(x)在3,5上的单调性,并证明;,(2)求f(x)在3,5上的最大值和最小值.,【备用例2】 已知函数f(x)=1- . (1)证明:函数f(x)在定义域上是增函数;,(2)求函数f(x)在-3,0上的最大值与最小值; (3)求函数的值域.,题型三,二次函数的最值,【例3】 已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值. (1)xR;,解:f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7. (1)当xR时,f(x)=3(x-2)2-7-7, 当x=2时,等号成立. 即函数f(x)的最小值为-7,无最大值.,(2)0,3; (3)-1,1.,解:(2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示, 由图可知,函数f(x)在0,2)上递减, 在2,3上递增,并且f(0)=5, f(2)=-7,f(3)=-4, 所以在0,3上,f(x)max=f(0)=5, f(x)min=f(2)=-7. (3)由图象可知,f(x)在-1,1上单调递减, f(x)max=f(-1)=20, f(x)min=f(1)=-4.,变式探究:(1)若本例函数解析式不变,求此函数在0,a上的最大值和最小值;,解:(1)由题意知a0,f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7, 故此函数的对称轴为x=2, 当0a2时,f(x)min=f(a)=3a2-12a+5, f(x)max=f(0)=5, 当2a4时,f(x)min=f(2)=-7, f(x)max=f(0)=5, 当a4时,f(x)min=f(2)=-7, f(x)max=f(a)=3a2-12a+5.,(2)若将函数“f(x)=3x2-12x+5”变为“f(x)=x2-2ax+2”,则函数在-1,1上的最小值如何?,解:(2)f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,其图象开口向上, 对称轴为x=a, a-1时,f(x)在-1,1上单调递增, f(x)min=f(-1)=3+2a;,-1a1时,f(x)min=f(a)=2-a2,方法技巧 二次函数f(x)=ax2+bx+c在m,n上的最值情况如下:,设f(x)=x2-4tx+5t2在区间t-1,t+1上的最大值是M(t),最小值是m(t),试求M(t)与m(t)的解析式.,解:因为f(x)=x2-4tx+5t2=(x-2t)2+t2. 所以函数f(x)的对称轴方程是x=2t. 当2tt-1,即t-1时,函数f(x)在t-1,t+1上单调递增, 所以M(t)=f(t+1)=2t2-2t+1, m(t)=f(t-1)=2t2+2t+1. 当t-12tt+1,且f(t-1)f(t+1), 即-1t0时, f(x)在x=2t处取最小值,即m(t)=t2, 此时函数的最大值为M(t)=f(t+1)=2t2-2t+1.,【备用例3】,当t-12tt+1,且f(t-1)f(t+1), 即0t1时,f(x)在x=2t处取最小值,即m(t)=t2, 此时函数的最大值为M(t)=f(t-1)=2t2+2t+1.,谢谢观赏！,