第一章1.7 变化率问题A级基础巩固一、选择题1如图所示，阴影部分的面积是(C)A2B2C D解析S (3x22x)dx即F(x)3xx3x2，则F(1)31，F(3)9999SF(1)F(3)9故应选C2一物体以速度v(3t22t)m/s做直线运动，则它在t0s到t3s时间段内的位移是(B)A31mB36mC38mD40m解析S(3t22t)dt(t3t2)333236(m)，故应选B3利用定积分的几何意义，可求得dx(B)A9 B C D解析由定积分的几何意义知，dx表示圆x2y29位于x轴上方部分(即半圆)的面积，dx324直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(D)A2 B4 C2 D4解析如图所示由解得或第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S(4xx3)dx(2x2)|8445(2018红谷滩新区校级二模)某人吃完饭后散步，在0到3小时内速度与时间的关系为vt33t22t(km/h)，这3小时内他走过的路程为(C)Ak BkCk Dk解析vt33t22t的原函数可为F(t)t4t3t2t2(t2)2，路程为v(t)dtv(t)dtv(t)dtF(1)F(0)F(2)F(1)F(3)F(2)2F(1)F(3)(km)，故选C6若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a，那么从3小时到6小时期间内的产量为(D)A B3C63 D63解析dt63，故应选D二、填空题7由曲线y22x，yx4所围图形的面积是18解析如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，2)，(8,4)因此所求图形的面积S (y4)dy取F(y)y24y，则f (y)y4，从而SF(4)F(2)188由两条曲线yx2，yx2与直线y1围成平面区域的面积是解析解法1：如图，y1与yx2交点A(1,1)，y1与y交点B(2,1)，由对称性可知面积S2(x2dxdxx2dx)解法2：同解法1求得A(1,1)，B(2,1)由对称性知阴影部分的面积S2(x2x2)dx(1x2)dx2x3|(xx3)|2()解法3：同解法1求得A(1,1)B，(2,1)，C(1,1)，D(2，1)S (1x2)dx (1x2)dx(xx3)|(xx3)|解法4: 同解法1求得A(1,1)，B(2,1)，取y为积分变量，由对称性知，S2(2)dy2dy2(|)三、解答题9计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积解析由解得x0及x3从而所求图形的面积S(x3)(x22x3)dx(x23x)dx10一质点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(单位：m/s)运动求：(1)在t4s的位置；(2)在t4s内运动的路程解析(1)在时刻t4时该点的位置为(t24t3)dt(t32t23t)|(m)，即在t4s时刻该质点距出发点m(2)因为v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在区间0,1及3,4上的v(t)0，在区间1,3上，v(t)0，所以t4s时的路程为S(t24t3)dt|(t24t3)dt|(t24t3)dt(t32t23t)|(t32t23t)|(t32t23t)|4(m)即质点在4s内运动的路程为4mB级素养提升一、选择题1若(2x)dx3ln2且a1，则实数a的值是(A)A2B3C5D6解析(2x)dx(x2lnx)|a2lna(1ln1)3ln2，a1，a2lna4ln222ln2，解得a2，故选A2(2018济南高二检测)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域的A处与C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为(B)A B1C D1解析由题意得：S阴2(eex)dx2(exex)|2，由几何概型得所求概率P11二、填空题3如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为解析本题考查了定积分的计算与几何概型联立解得，或者，O(0,0)，B(1,1)，S阴影(x)dx(x)|，P4已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为yx2，则f(1)f (1)3解析切点M在切线yx2上，f(1)12，又切线斜率k，f (1)，f(1)f (1)3三、解答题5设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(2，f(2)处的切线方程为2xy30(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线xt(0t1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值解析(1)设f(x)ax2bxc，其图象过点(0,1)，c1，又在点(2，f(2)处的切线方程为2xy30，f (x)2axb，a1，b2，故f(x)x22x1(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S (x22x1)dx(x3x2x)|(3)依题意，有S (x22x1)dx(x3x2x)|，即t3t2t，2t36t26t10，2(t1)31，t16如图，设点P在曲线yx2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线yx2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x2与曲线yx2所围成图形的面积为S2(1)当S1S2时，求点P的坐标；(2)当S1S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值解析(1)设点P的横坐标为t(0t2)，则点P的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为ytxS1(txx2)dxt3，S2(x2tx)dx2tt3，因为S1S2，所以t32tt3，解得t，故点P的坐标为(，)(2)令SS1S2，由(1)知，St32tt3t32t，则St22，令S0，得t220，因为0t2，所以t，又当0t时，S0；当t0；故当t时，S1S2有最小值，最小值为，此时点P的坐标为(，2)7