第三章,空间向量与立体几何,3.1 空间向量及其运算,3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示,自主预习学案,没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积该如何规定，向量的数量积又满足哪些运算律呢？,1向量a与b的夹角 已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作a，b，则角_叫做向量a与b的夹角，记作_ 通常规定0a，b180，且a，bb，a， 如果a，b_，则称a与b互相垂直，记作ab,AOB,a，b,90,2向量a，b的数量积 空间两个非零向量a、b，ab_ 叫做向量a、b的数量积(或内积) 同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质： (1)ab_； (2)|a|2_； 空间两个向量的数量积同样满足如下运算律： (1)(a)b(ab)； (2)abba；(交换律) (3)(ab)cacbc.(分配律),|a|b|cosa，b,ab0,aa,3三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的_垂直，那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的_，那么它也和_垂直 即与斜线垂直与射影垂直,一条斜线的射影,一条斜线垂直,这条斜线在平面内的射影,4数量积的性质 设a，b都是非零向量，a，b， ab时，_，_时，a与b同向； _时，a与b反向 ab_ab0 为锐角时，ab_0，但ab0时，可能为_；为钝角时，ab_0，但ab0时，可能为_ |ab|a|b|，特别地，当_时，ab|a|b|，当_时，ab|a|b|,0或,0,0,0,a(bc),0,xaybzc,a，b，c,基向量,不共面,不同,相同,e1，e2，e3,起点,xe1ye2ze3,x、y、z,(x，y，z),1下列式子中正确的是 ( ) A|a|aa2 B(ab)2a2b2 C(ab)ca(bc) D|ab|a|b| 解析 |a|a是与a共线的向量，a2是实数，故A不对； (ab)2|a|2|b|2cos2a，ba2b2，故B错； (ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故C错 |ab|a|b|cosa，b|a|b|,D,A,解析 由空间基底的概念知，构成基底的三个基向量一定不共面，因此必定不共线，都是非零向量，A错，D错，B正确；ABC为直角三角形时不一定角A为直角，故C错,B,(2,3，4),(1,2，5),互动探究学案,命题方向1 向量的数量积的概念与运算,典例 1,规律总结 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算 (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算 2在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积 (3)代入ab|a|b|cosa，b求解,B,命题方向2 利用数量积求夹角和模,典例 2,跟踪练习2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角,命题方向3 利用数量积解决垂直问题,已知三棱锥OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOCM、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC,典例 3,典例 4,1建立空间直角坐标系时，必须寻求三条两两垂直的直线 2空间向量坐标表示的方法与步骤： (1)观图形：充分观察图形特征 (2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系 (3)用运算：综合利用向量的加减及数乘运算 (4)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标,空间向量的坐标表示,典例 5,在四面体OABC中，各棱长都相等，E、F分别为AB、OC的中点，求异面直线OE与BF所夹角的余弦值.,典例 6,A,A,A,