第三章,空间向量与立体几何,学习目标 1空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直,2空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量 (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系 (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用,本章重点 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离 本章难点 用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题.,3.1 空间向量及其运算,3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算,自主预习学案,1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北香港上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北上海如果把台北香港的位移记为向量a，香港上海的位移记为向量b，台北上海的位移记为向量c，那么ab与c有怎样的关系呢？,1空间向量 (1)定义：在空间，具有_和_的量叫做空间向量 (2)长度或模：向量的_ (3)表示方法： 几何表示法：空间向量用_表示； 字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：_，其模记为_或_,大小,方向,大小,有向线段,|a|,任意,0,0,1,相反,a,相等,ba,a(bc),向量,相同,0,相反,|,互相平行或重合,相同或相反,任意向量,平面,惟一,pxayb,方向向量,解析 在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反,D,2下列命题中正确的是 ( ) A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B向量a、b、c共面即它们所在的直线共面 C零向量没有确定的方向 D若ab，则存在唯一的实数，使ab 解析 由零向量定义知选C而A中b0，则a与c不一定共线；D中要求b0；B中a，b，c所在的直线可能异面,C,D,B,互动探究学案,命题方向1 空间向量的有关概念,(1)给出下列命题： 单位向量没有确定的方向；空间向量是不能平行移动的； 有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大； 如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等 其中正确的是 ( ) A B C D,典例 1,C,8,规律总结 处理向量概念问题需注意两点 向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可 单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1.,命题方向2 空间向量的加减运算,典例 2,规律总结 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化,C,命题方向3 空间向量的数乘运算,典例 3,思路分析 由题目可以获取以下主要信息： ABCD是正方形，O为中心，PO平面ABCD，Q为CD中点； 用已知向量表示指定向量 解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等求出x、y即可,规律总结 1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律 2空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致,命题方向4 共线向量,典例 4,命题方向5 共面问题,典例 5,跟踪练习5 如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点用向量法证明E、F、G、H四点共面,(1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明特别地，线面平行可转化为该直线法的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示 (2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系,空间向量的线性运算在立体几何中的应用,(3)解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目标要求为止 (4)利用向量证明线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量用来表示出直线上的向量两种方法中注意说明直线不在平面内,典例 6,导师点睛 解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉MN不在平面CDE内而致错,跟踪练习6 已知AB，CD是异面直线，CD，AB，M，N分别是AC，BD的中点求证MN,典例 7,B,D,相等,相反,bac,