第一章2.3 复数的几何意义A级基础巩固一、选择题1我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“nk时论断成立nk1时论断也成立”的过程中(A)A必须运用假设Bn可以部分地运用假设C可不用假设D应视情况灵活处理，A，B，C均可解析由“nk时论断成立nk1时论断也成立”的过程中必须运用假设2(2018嘉峪关校级期中)用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，nk1时，为了使用假设，应将5k12k1变形为(A)A5(5k2k)32kB(5k2k)45k2kC(52)(5k2k) D2(5k2k)35k解析假设nk时命题成立，即：5k2k被3整除当nk1时，5k12k155k22k5(5k2k)52k22k5(5k2k)32k故选A3对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN)时，不等式成立，即k1，则nk1时，0)，fn1(x)f1(fn(x)(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想解析(1)f2(x)f1f1(x)，f3(x)f1f2(x)猜想：fn(x)，(nN*)(2)下面用数学归纳法证明 ，fn(x)(nN*)当n1时，f1(x)，显然成立；假设当nk(kN*)时，猜想成立，即fk(x)，则当nk1时，fk1f1fk(x)，即对nk1时，猜想也成立；结合可知，猜想fn(x)对一切nN*都成立B级素养提升一、选择题1当n1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想(D)An1时，2nn2 Bn3时，2nn2Cn4时，2nn2 Dn5时，2nn2解析当n1时，2112，即2nn2；当n2时，2222，即2nn2；当n3时，2332，即2n52，即2nn2；当n6时，2662，即2nn2；猜想当n5时，2nn2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立，(1)当n5时，由以上可知猜想成立，(2)设nk(k5)时，命题成立，即2kk2，当nk1时，2k122k2k2k2k2k2(2k1)(k1)2，即nk1时，命题成立，由(1)和(2)可得n5时，2nn2；故当n2或4时，2nn2；n3时，2nn2故选D2用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开(A)A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析因为从nk到nk1的过渡，增加了(k1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k3)3展开，证明余下的项9k227k27能被9整除二、填空题3用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步的验证为当n1时，左边4，右边4，左右，不等式成立解析当n1时，左右，不等式成立，nN*，第一步的验证为n1的情形4对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a5解析当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5，当a3时且n3时，31035不能被14整除，故a5三、解答题5在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域证明(1)n2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立(2)假设当nk(k2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立当nk1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k1块从而k1条直线将平面分成k1块区域所以nk1时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立6(1)用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1(nN*)(2)求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)解析(1)当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，等式成立假设nk(kN*)时，等式成立，即12223242(1)k1k2(1)k1则当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k当nk1时，等式也成立，根据、可知，对于任何nN*等式成立(2)n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任何nN*都成立C级能力拔高已知等差数列an中，a28，前10项的和S10185，(1)求数列an的通项公式an；(2)若从数列an中依次取出第2,4,8，2n，项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和An；(3)设Bnn(53an)，试比较An和Bn的大小，并说明理由解析(1)设公差为d，由题意得，解得an53(n1)3n2(2)设新数列为bn，bna2n32n2An3(222232n)2n32n12n6(3)Bnn(9n11)9n211n，A13448，A238222，A331648，A4332298，A53644196，A631286390，A732568776，而B120，B258，B3114，B4188，B5280，B6390，B7518，当n1,2,3,4,5时，BnAn；当n6时，B6A6；当n