第2课时正弦定理的应用学习目标1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.2.理解三角形面积公式及解斜三角形.3.能用正弦定理解决简单的实际问题知识点一正弦定理的变形公式设ABC的外接圆的半径为R，有2R.(1)abcsin Asin Bsin C；(2)，；(3)；(4)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.知识点二边角互化思考在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?答案可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A(R为ABC外接圆半径)，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.梳理一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化知识点三三角形面积公式思考在ABC中，已知a1，b2，C30.BC边上的高AD是多少？ABC的面积是多少？答案ADbsin C2sin 301.SABCaADabsin C11.梳理在ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，则ABC的面积SABCabsin Cbcsin Acasin B.知识点四仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示1仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角()2在ABC中，若b22acos B，则sin2B2sin Acos B()3平行四边形ABCD的面积等于ABADsin A()类型一边角互化例1在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状考点判断三角形的形状题点利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状解方法一由正弦定理，得2R(R为ABC外接圆半径)，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形方法二由正弦定理，得2R(R为ABC外接圆半径)，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BC90，BC0，BC，ABC是等腰直角三角形反思与感悟利用正弦定理判定三角形的形状，主要有两条途径(1)化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状转化公式为a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径)(2)化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如ab，a2b2c2等，进而确定三角形的形状转化公式为sin A，sin B，sin C(R为ABC外接圆半径)跟踪训练1若将题设中的“sin A2sin Bcos C”改为“bsin Bcsin C”，其余不变，试解答本题考点判断三角形的形状题点利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状解由正弦定理，设2R(R为ABC外接圆半径)，从而得sin A，sin B，sin C.bsin Bcsin C，sin2Asin2Bsin2C，bc，222，b2c2，a2b2c2，bc，A90.ABC为等腰直角三角形类型二三角形面积公式及其应用命题角度1已知边角求面积例2在ABC中，已知B30，AB2，AC2.求ABC的面积考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理求面积解由正弦定理，得sin C，又ABsin BACAB，故该三角形有两解：C60或120，所以当C60时，A90，SABCABAC2；当C120时，A30，SABCABACsin A.所以ABC的面积为2或.反思与感悟对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，但也要结合具体条件，如已知AB，AC，就以选SABACsin A为宜跟踪训练2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A3，cos C，(1)求角B的大小；(2)若c4，求ABC的面积考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理求面积解(1)cos C，C，sin C，tan C2.又tan Btan(AC)1，且0B，)考点判断三角形形状题点利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状答案解析c2acos B，由正弦定理得，2cos Bsin Asin Csin(AB)，sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，又AB，AB0，AB.4在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin Bb，则A .考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案解析在ABC中，利用正弦定理，得2sin Asin Bsin B，B，sin B0，sin A.又A为锐角，A.5在ABC中，已知BC6，A30，B120，则ABC的面积为 考点解三角形求面积题点先用正弦定理求边或角再求面积答案9解析由正弦定理得，AC6.又C1801203030，SABCACBCsin C669.1用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解然后分析解三角形已有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达到目标2当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时，或已知三角形外接圆半径时，可以用正弦定理进行边角互化3三角形面积公式要根据条件灵活选择一、填空题1在ABC中，若a3，cos A，则ABC外接圆的半径为 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解答案解析cos A，A，sin A，由2R，得R.2在ABC中，若abc135，则的值为 考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理进行边角互化解三角形答案解析由条件得，sin Asin C.同理可得sin Bsin C.3.埃及有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶端已经坍塌了)，A50，B55，AB120 m，则此金字塔的高约为 米(sin 500.766，sin 550.819)(精确到1米)考点正弦定理的简单实际应用题点求高度问题答案78解析先分别从A，B出发延长断边，确定交点C，则C180AB75，ACsin Bsin 55101.7.设高为h，则hACsin A101.7sin