1洛阳市2018-2019学年高三年级上学期期中考试数学试卷（理）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。【1】设集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【2】若实数满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【3】已知直线：与圆：相交于两点，若为等腰直角三角形，则（ ）（A）或 （B）或 （C）或 （D）或【4】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面积暅相等，则体积相等。设为两个同高的几何体，：的体积不相等，：在等高处的截面积不暅相等。根据祖暅原理可知，是的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【5】已知，则双曲线与中相等的是（ ）（A）实轴长 （B）虚轴长 （C）焦距 （D）离心率【6】某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为），则这个几何体的体积是（ ）（A） （B） （C） （D）【7】已知，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）【8】若实数满足，且的最大值为，则的值是（ ）（A） （B） （C） （D）【9】已知，则（ ）（A） （B） （C） （D）【10】已知函数，其中，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（ ）（A） （B） （C） （D）【11】设椭圆的右顶点为，右焦点为，为该椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于为坐标原点。若为线段的中点，且，则该椭圆的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【12】已知函数，若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。【13】已知平面向量满足，且，则夹角的余弦值为 。【14】已知等比数列的各项均为正数，且，则的最小值为 。【15】在直三棱柱中，是上一动点，则的最小值为 。【16】已知函数，对任意的当时，则实数的取值范围是 。三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程。【17】（本小题满分12分）已知公差不为的等差数列首项为，且成等比数列。（）求数列的通项公式；（）设是数列的前项和，是否存在，使得成立？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由。【18】（本小题满分12分）在中，角的对边分别是，是上的点，平分，的面积与的面积的比为。（）求；（）若，求的长。【19】（本小题满分12分）如图，等腰三角形所在平面与等边三角形所在平面互相垂直，已知点分别为边的中点，。（）求证：；（）求二面角的余弦值。【20】（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为，上一点的纵坐标为，且，过作抛物线的切线斜率不为，切点为。抛物线的准线与该切线交于点。（）求抛物线的方程；（）若的外接圆半径为，求切线的方程。【21】（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线为。（）求；（）若，证明：当时，。【22】（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线。（）求曲线的极坐标方程；（）曲线：与曲线分别交于两点，定点，求的面积。【23】（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数。（）当时，求不等式的解集；（）对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围。2