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河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(文)试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合,根据指数函数的性质求出的值域B,取交集即可【详解】,则,故选D.【点睛】本题主要考查了集合的运算,考查解不等式问题,指数函数的性质,准确求出集合A,B是解题的关键,属于基础题2.已知复数满足:(其中为虚数单位),复数的虚部等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出,由此能求出复数的虚部【详解】复数满足:(其中为虚数单位),复数的虚部等于,故选C.【点睛】本题考查复数的虚部的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用3.命题若为第一象限角,则;命题:函数有两个零点,则( )A. 为真命题 B. 为真命题 C. 为真命题 D. 为真命题【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质,对于命题可以举出反例,可得其为假,对于命题,根据零点存在定理可得其至少有三个零点,即为假,结合复合命题的真假性可得结果.【详解】对于命题,当取第一象限角时,显然不成立,故为假命题,对于命题,函数在上有一个零点,又,函数至少有三个零点,故为假,由复合命题的真值表可得为真命题,故选C.【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假,考查三角函数的性质,零点存在定理的应用,属于中档题若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“或”:一真即真,“且”:一假即假,“非”:真假相反,作出判断即可4.正项等比数列中的,是函数的极值点,则( )A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数求导,由于,是函数的极值点,可得,即可得出结果【详解】,是函数的极值点,又,故选A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数、等比数列的性质、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题5.已知是正方形的中心,若,其中,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则以及平面向量基本定理求出,即可得出答案【详解】,故选A【点睛】本题考查了平面向量的基本定理,属于中档题平面向量基本定理补充说明:(1)基底向量肯定是非零向量,且基底并不唯一,只要不共线就行,(2)由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一6.在中,角所对的边分别为,且.若,则的形状是( )A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】结合,利用余弦定理可得,可得,由,利正弦定理可得,代入,可得,进而可得结论.【详解】在中,代入,解得的形状是等边三角形,故选C【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题7.如图直角坐标系中,角、角的终边分别交单位圆于、两点,若点的纵坐标为,且满足,则的值( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据点的纵坐标易得,求出,根据三角形的面积公式得到,结合范围得出,将所求等式利用三角恒等式可化简将代入即可得结果.【详解】角、角的终边分别交单位圆于、两点,点的纵坐标为,又,即 ,故选B.【点睛】本题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及任意角的三角函数定义,熟练掌握公式是解本题的关键8.已知公比不为1的等比数列的前项和为,且满足、成等差数列,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】公比不为1的等比数列的前项和为,运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,解方程可得公比,再由等比数列的求和公式,计算可得所求值.【详解】公比不为1的等比数列的前项和为,、成等差数列,可得,即为,即,解得(1舍去),则,故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,等差数列中项的性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.9.已知函数,若函数与图象的交点为,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合函数的解析式可得,求出的对称轴为,根据两图象的对称关系分为为奇数和偶数即可得出答案【详解】, 的图象关于直线对称,又的图象关于直线对称,当为偶数时,两图象的交点两两关于直线对称,当为奇数时,两图象的交点有个两两对称,另一个交点在对称轴上,故选A【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系,分类讨论的思想,解题的关键是根据函数的性质得到,属于中档题10.将函数的图象向左平移个单位长度后,再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象,且的图象与直线相邻两个交点的距离为,若对任意恒成立,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知求得,再由已知得函数的最小正周期为,求得,结合对任意恒成立列关于的不等式组求解【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后,再将所得的图象向下平移一个单位长度,得,又的图象与直线相邻两个交点的距离为,得,即,当时,解得,的取值范围是,故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质,根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键,是中档题11.已知函数,在其共同的定义域内,的图象不可能在的上方,则求的取值范围( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件转化为:不等式恒成立,分离参数,然后构造函数利用导数,求解函数的最值即可【详解】函数,在其共同的定义域内,的图象不可能在的上方,当时,恒成立,化为:,即,;令,(),令,函数在单调递增,时,函数单调减函数,时,函数单调增函数,所以,故选C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成立问题,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立,即或即可,利用导数知识结合单调性求出或即得解.12.已知函数满足,且存在实数使得不等式成立,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出,求出的表达式,求出的导数,得到函数的单调区间,求出的最小值,问题转化为只需即可,求出的范围即可【详解】,解得,解得,在递增,而,在恒成立,在恒成立,在递减,在递增,若存在实数使得不等式成立,只需即可,解得:,故选D【点睛】本题考查了求函数的表达式问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,转化思想,属于中档题由,得函数单调递增,得函数单调递减;注意区分“恒成立问题”与“能成立问题”之间的区别与联系.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.平面向量与的夹角为,则等于_.【答案】【解析】【分析】运用向量的数量积的定义,可得 ,再由向量的模的平方即为向量的平方,计算即可得到所求值【详解】由向量与的夹角为,|,可得,则,故答案为.【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质,主要是向量的模的平方即为向量的平方,考查运算求解的能力,属于基础题.14.在中,分别是内角的对边且为锐角,若,则的值为_.【答案】【解析】【分析】由已知及正弦定理可得,利用三角形面积公式可得,联立可得,利用同角三角函数基本关系式可求,由余弦定理可得的值.【详解】,可得:,联立可得,且为锐角,由余弦定理可得:,解得:,故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题.15.已知数列的前项和为,且满足:,则_.【答案】【解析】【分析】,则,化为:,由,可得,可得数列是等比数列,首项为2,公比为2,即可得出【详解】,则,化为:由,可得,因此对都成立数列是等比数列,首项为2,公比为2,即,故答案为.【点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式与求和公式、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.已知函数,若与的图象上存在关于直线对称的点,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出函数关于直线的对称函数,令与的图象有交点得出的范围即可【详解】关于直线对称的直线为,直线与在上有交点,作出与的函数图象,如图所示:若直线经过点,则,若直线与相切,设切点为,则,解得,故答案为.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法,注意运用转化思想,以及零点与函数图象的关系,导数的几何意义,属于中档题三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列的前项和为,且满足,.(1)求的通项公式;(2)求的值.【答案】(1) .; (2).【解析】【分析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式;(2)根据数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】(1)设等差数列的公差为,由,得,则有,所以,故 .(2)由(1)知,则,所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的概念,以及数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于,其中和分别为特殊数列,裂项相消法类似于,错位相减法类似于,其中为等差数列,为等比数列等.18.在中, 内角,的对边分别为, ,且.(1)求角的大小;(2)若的面积为,且,求.【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式,由此求得的值,从而求得角的大小;(2)首先根据条件等式结合余弦定理得到的关系式,然后根据三角形面积公式求得的值,从而求得的值试题解析:(1)由及正弦定理可得,又因为.(2),又由余弦定理得,代入式得,由余弦定理,得.考点:1、正弦定理与余弦定理;2、两角和的正弦函数公式;3、三角形面积公式19.已知数列中,.(1)求的通项公式;(2)数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围.【答
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