1.4 导数在实际生活中的应用5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为( )A. B. C. D.2答案：C解析:设底面边长为x，则表面积S=x2+V(x0),S=(x3-4V),令S=0,得唯一极值点x=.2.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底长为( )A. B.r C.r D.r答案：D解析:设梯形的上底长为2x,高为h，面积为S.h=,S=(r+x).令S=.令S=0，得x=,h=r,当x(0,)时,S0;当xr时，S0)，令S=8-2x=0，得x=4.此时S最大=42=16 m2.答案:1610分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A.6 B.8 C.10 D.12答案：B解析:设截去的小正方形的边长为x cm,铁盒的容积为V cm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0x0),则L=2-.令L=0,得x=16.x0,x=16.当x=16时,L极小值=Lmin=64,堆料场的长为=32米.答案:32米,16米4.如图所示,水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S,水面的高为h,当水渠侧边的倾斜角为多大时,才能使横断面被水浸湿的周长为最小?(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a,当水渠侧边倾斜角多大时,水流的横断面积为最大?解：(1)依题意,侧边BC=h(sin)-1,设下底AB=x,则上底CD=x+2hcot.又S=(2x+2hcot)h=(x+hcot)h,下底x=-hcot.横断面被水浸湿周长l=+(-hcot)=(0).l=.令l=0,解得cos=,=.根据实际问题的意义,当=时,水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h,水流横断面积为S,则S=(a+a+2acos)h= (2a+2acos)asin=a2(1+cos)sin(0).S=a2-sin2+(1+cos)cos=a2(2cos-1)(cos+1). 令S=0,得cos=或cos=-1(舍),故在(0,)内,当=时,水流横断面积最大,最大值为S=a2(1+cos)sin=a2.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.函数f(x)=x3-3x(|x|0,解之得a2.答案:(-,-1)(2,+)4.函数y=sin2x-x,x,的最大值是_,最小值是_.答案： -5.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形，问如何截能使正方形与圆面积之和最小,并求出最小面积.解:设弯成圆的一段长为x，另一段长为100-x,设正方形与圆的面积之和为S，则S=（）2+()2(0x100),所以S=(100-x).令S=0,得x=.由于在（0，100）内函数只有一个导数为0的点，故当x=时S最小,此时S=.所以截成圆的一段铁丝长为时,可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为.6.如图,一艘渔船停泊在距岸9 km的A处,今需派人送信给距渔船334 km处的海岸渔站C,若送信人步行速度为每小时5 km,船速为每小时4 km,问在何处上岸,可以使抵站的时间最省?参考导数公式=f(x)解:设上岸点为D,BD=x,BC=15,AD=,所用时间t(x)=,t(x)=0.解得x=12.15-x=15-12=3 km.上岸点在距渔站3 km处.7.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时,其容积最大?解:设被切去的全等四边形的一边长为x,如题图,则正六棱柱的底面边长为1-2x,高为x,正六棱柱的体积V=6(1-2x)2x(0x0,V是增函数;当x(,)时,V0,V是减函数,当x=时,V有最大值,此时正六棱柱的底面边长为.8.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益为多少?解:(1)当每辆车的月租金为3 600元时,未出租的车辆数为=12,所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益f(x)=(100)(x-150) 50=162x-21 000.f(x)=+162,由f(x)=0,得x=4 050.当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050.