平面的基本性质与空间 两条直线的位置关系,第57讲,平面的基本性质,【例1】 回答下列问题： (1)不重合的三条直线相交于一点，最多能确定多少个平面；若相交于两点，又最多能确定多少个平面？ (2)分别和两条异面直线都相交的两直线的位置关系是怎样的？,【解析】(1)依据“两条相交直线可确定一个平面”知：不重合的三条直线相交于一点，最多能确定3个平面若三条直线相交于两点，则最多能确定2个平面(这里有两条直线为异面直线),(2)不妨设a、b为异面直线，直线c分别与a、b交于点A、B，直线d分别与a、b交于点C、D.若A、C重合或B、D重合，则直线c、d相交；若A与C和B与D均不重合，则c、d异面(否则，c、d共面，不妨设c、d共面于平面，则c、d，所以A、B、C、D.又A、Ca，B、Db，所以a、b，与a、b异面矛盾！),点评,(1)中若去掉“最多”二字，则前者结论是1或3；后者结论是1或2.(2)题不易从正面说清，因而用反证法，体现“正难则反”的思维规律,【变式练习1】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和CC1的中点请画出平面DMN与平面BB1C1C及平面ABB1A1的交线,【解析】如图，平面DMN平面BB1C1CPN，平面DMN平面ABB1A1RM.,共点、共线、共面 问题,【例2】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点,【解析】(1)连结A1B、CD1. 因为E是AB的中点，F是A1A的中点，则EFA1B. 又在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1BD1C， 所以EFD1C. 故E、C、D1、F四点共面,(2)由(1)知，EFD1C且EFD1C， 故四边形ECD1F是梯形，两腰CE、D1F相交，设其交点为P，则PCE. 又CE平面ABCD，所以P平面ABCD. 同理，P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1AD， 所以PAD，所以CE、D1F、DA三线共点,点评,公理体系是整个立体几何的基础，是空间线面位置关系的支撑，是学生形成空间想象能力的基本依据熟练掌握四个公理及其推论，是解决共点、共线、共面问题的关键公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理；公理3及其推论(过直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线有且只有一个平面)是判断或证明点线共面的依据,【例3】 一个正方体的纸盒展开后如图在原正方体的纸盒中有下列结论： ABEF； AB与CM成60角； EF与MN是异面直线； MNCD. 其中正确的是_,空间两条直线的位 置关系,【解析】原正方体如图所示，AB可平行移动到CM位置，即ABCM.在正方形CEMF中，CMEF，故ABEF，正确，错误；同理，MNCD，故错误，只有正确 答案：,点评,本题考查学生的空间想象能力解决问题的关键是将其还原成正方体，要注意字母的相应位置千万不能搞错空间两条直线的位置关系有三种：平行、相交和异面对于异面直线，考纲泛读也仅仅是了解而已，但也必须会判断，这对理解两条异面直线的垂直问题有很大帮助,【变式练习3】 如图是正方体的平面展开图，则这个正方体中：BM与ED平行；CN与BM成60角；BE与CN是异面直线；DMBN.其中正确命题的序号为_.,【解析】将平面展开图还原成 正方体，如图所示观察图形 知，错，因为BM与ED垂直； 对连结BE、EM.因为CN BE，故EBM是异面直线CN、BM所成的角在正三角形EBM中，EBM60，故CN与BM成60角；错，因为BE与CN是平行直线；对，因为CN为BN在平面CDNM内的射影，且CNDM，所以BNDM.综上，正确命题的序号是.,1.下列四个命题： 经过三点确定一个平面； 经过一条直线和一个点确定一个平面； 四边形确定一个平面； 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 其中真命题为_.,【解析】经过不在同一直线上的三点确定一个平面；经过一条直线和直线外的一点确定一个平面；空间的四边形不可能确定一个平面,2.已知a、b、c是三条不同的直线，有下列四个命题： 若ab，bc，则ac； 若a与b是异面直线，c与b是异面直线，则a与c是异面直线； 若ab，bc，则ac； 若ac，a与b是异面直线，则b与c是异面直线 其中真命题为_.,3.下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的一个图形是_.,【解析】正方体ABCDA1B1C1D1中，因为PSA1C1QR，所以P、Q、R、S共面，如下图(1)，排除. 如图(2)， (1) (2) (3),正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AA1、BC的中点，则PEQFRS为正六边形，所以P、Q、R、S共面，排除. 如图(3)，因为PQABSR， 所以P、Q、R、S共面，排除. 故选.,4.已知直线l与三条平行线a、b、c都相交求证：l与a、b、c共面,5.如图，在三棱锥ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点 (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)若ACBD，求证：四边形EFGH是菱形； (3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形,本节是立体几何的基础内容，四个公理及其推论是判断共线、共面的依据，也是将空间问题平面化的主要依据 (1)证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法,(2)证明三线共点：可以证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线往往是两个平面的交线 (3)善于利用长方体模型判别空间中点线面的位置关系 (4)异面直线的证明常用反证法，具体思路是先否定结论，再依据已知的公理、定理、题中的条件寻找矛盾，最后肯定证明的结论判断异面直线时通常还采用排除法(不相交不平行)或判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线),