空间向量的数量积运算,前言,因为向量可以自由平移，所以空间中任意两个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个向量共面. 因此，平面中两个向量的夹角及数量积等相关概念、性质可以推广到空间.,1)两个向量的夹角的定义:,类似地，可以定义空间向量的,数量积,两个向量的夹角是惟一确定的！,思考： 下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？,2）空间向量的数量积,注:（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零. （3）点乘符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.,练习 已知正方体AC边长 为1,求：,数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。,几何意义,3)空间向量的数量积性质,注： 性质是证明两向量垂直的依据； 性质是求向量的长度（模）的依据.,4)空间向量的数量积满足的运算律,注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。,思考1.,不能，例如向量 与向量 都垂直时，有 而未必有,思考2.,对于三个均不为0的数 若 则 对于向量 若 能否 写成 也就是说 向量有除法吗？,思考3.,对于三个均不为0的数 对于向量 成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？,课堂练习,4.,