3.1.3空间向量的数量积运算,问题探究,提出问题：已知在正方体ABCDABCD中，E为AA的中点，点F在线段DC上，DF2(1)FC，如何确定(BE)，(FD)的夹角？,1.空间向量的加减法运算,（1）向量的加法：,平行四边形法则,三角形法则,复习：,（2）向量的减法,:三角形法则,复习：,2. 相等向量： 方向 且模 的向量称为相等向量,相同,相等,3.共面向量的基本定理： 如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y， 使 。,p=xa+yb,4平面向量的夹角：,复习：,1） 空间两个向量的夹角的定义,思考：1、a，b与b，a相等吗？ 2、a，b与a，b相等吗？,注意：a，bb，a，a，ba，b,3.1.3空间向量的数量积运算,2）两个向量的数量积,注： 两个向量的数量积是数量，而不是向量.,零向量与任意向量的数量积等于零。,3)空间向量的数量积性质:,对于非零向量 ，有：,（求角的依据）,（证明垂直的依据）,（求向量的长度的依据),4)空间向量的数量积满足的运算律,下列命题成立吗? 若 ,则 若 ,则 ,思考:,1.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3， | b |4，则ab _， a2_， (a2b)(ab)_.,题型一 利用数量积求夹角,如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值,【例1】,分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！,题型二 利用数量积证明垂直关系,【例2】,证明：,例2 已知:,求证：,在直线l上取向量 ,只要证,为,例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,m,n,例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长,题型三 利用数量积求两点间的距离,【例4】,课堂小 结： 空间向量数量积： 可利用数量积解决立体几何中的以下问题： 1、求两直线所成角. 2、证明两直线垂直; 3、求两点之间的距离或线段长度;,作业,P98 A组 3 4 5 B组 1 2,2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( ) A. B. C. D.,3.已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。,B,课后练习：,