第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点,主题1 函数的零点 1.观察下列一元二次方程与对应的二次函数: (1)方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3. (2)方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1. (3)方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.,结合下面的表格,完成填空,(-1,0),(3,0),(1,0),无,-1,3,1,无,2.结合问题1,你认为方程f(x)=0的根与对应函数y=f(x)的图象有什么关系? 提示:方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等.,结论: 1.函数零点的定义 对于函数y=f(x),使f(x)=0的_x叫做函数y=f(x)的零点.,实数,2.函数零点的意义 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与_有交 点函数y=f(x)有_.,x轴,零点,【微思考】 函数的零点是一个点,还是一个实数?是不是所有的函数都有零点?,提示:函数的零点是实数而不是点,例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0). 并不是所有的函数都有零点,例如函数f(x)= , y=x2+1均没有零点.,主题2 函数零点的判断 1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间(-2,1)内有零点,计算f(-2)与f(1)的乘积,你能发现这个乘积有什么特点?,提示:f(-2)f(1)=(-2)2-2(-2)-3(12-21-3) =5(-4)=-200. 即当f(-2)f(1)0时, 函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2,1)内有零点x=-1, 它是方程x2-2x-3=0的一个根.,2.同样,函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点,是否也有f(2)f(4)0呢? 提示:经计算f(2)f(4)0,即当f(2)f(4)0时,函数f(x)=x2-2x-3在(2,4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的一个根.,结论: 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是_的 一条曲线,并且_,那么函数y=f(x)在区间 (a,b)内有_,即存在c(a,b),使得_,这个c 也就是方程f(x)=0的_.,连续不断,f(a)f(b)0,零点,f(c)=0,根,【微思考】 1.零点的存在性定理中,两个条件:函数f(x)在区间 a,b上的图象是一条连续不断的曲线;f(a)f(b) 0,是不是缺一不可?,提示:是的,两个条件缺一不可,例如f(x)= , f(-1)f(1)0,但显然f(x)= 在-1,1内没有零点.,2.对于在区间a,b上图象连续不断的函数f(x),满足f(a)f(b)0时,函数y=f(x)在(a,b)上没有零点,对吗?,提示:不对,例如,f(x)=(x-2)2满足f(1)f(3)0,但在区间(1,3)上有零点2.存在性定理只是给出了零点存在的两个条件,但非唯一的存在条件,同时存在性定理没有否认满足这两个条件时函数零点存在的可能性.,3.函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,一定有f(a)f(b)0.,【预习自测】 1.函数f(x)=x-1的零点是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0 【解析】选A.令f(x)=0得x-1=0, 即x=1,故f(x)的零点是1.,2.函数f(x)=3x-x2的零点所在区间是 ( ) A.(1,2) B.(-2,-1) C.(0,1) D.(-1,0),【解析】选D.因为f(-1)=3-1-10, 所以f(-1)f(0)0.故选D.,3.若函数y=f(x)的零点为1,则函数y=f(x+1)的零点为_. 【解析】因为函数y=f(x)的零点为1,则f(1)=0,令x+1=1得x=0,所以函数y=f(x+1)的零点为0. 答案:0,4.函数f(x)=x2- 零点的个数为_.(仿照教材P88例1的解析过程),【解析】方法一:令x2- =0,得x2= , 即x3=1,解得x=1. 故函数f(x)=x2- 只有一个零点.,方法二: 由x2- =0,得x2= . 令h(x)=x2(x0),g(x)= , 在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函 数图象只有一个交点,故函数f(x)=x2- 只有一个零点. 答案:1,类型一 求函数的零点或判断零点的个数 【典例1】(1)(2017六安高一检测)函数f(x)=x2-bx+1有一个零点,则b的值为 ( ) A.2 B.-2 C.2 D.3,(2)求下列函数的零点 f(x)=x3+8; f(x)= f(x)=,【解题指南】(1)将函数f(x)=x2-bx+1的零点问题转化为方程根的问题,利用二次函数判别式求出参数范围. (2)将求y=f(x)的零点问题转化为方程f(x)=0的根的问题,进而求出函数的零点.,【解析】(1)选C.因为函数f(x)=x2-bx+1有一个零点,所以方程x2-bx+1=0有一个根,所以b2-4=0,所以b=2.,(2)令x3+8=0,得x=-2,所以函数f(x)=x3+8的零点为-2. 函数f(x)= 的定义域为(0,3)(3,+),令 =0,得x+2=0或lnx=0,所以x=-2(舍去)或x=1, 所以函数f(x)= 的零点为1.,当x2或x-1时,令x2-x-2=0,得x=2或-1,当-1x 2时,令2x-1=0,得2x=1,所以x=0,所以函数的零点 为2,-1,0.,【方法总结】判断函数存在零点的三种方法 (1)方程法:若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.,(2)图象法:由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.,(3)定理法:函数y=f(x)的图象在区间a,b上是一条连续不断的曲线,由f(a)f(b)0即可判断函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点.若函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调函数,则函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点.,【巩固训练】(1)(2016杭州高一检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)讨论函数f(x)=(ax-1)(x-2)(a0)的零点.,【解析】(1)选C.令y1=log2x,y2=x-2,在同一坐标下作出y1与y2的图象,由图象可知y1与y2有两个交点,故f(x)有两个零点.,(2)令(ax-1)(x-2)=0得x1= ,x2=2(a0). 当a= 时,x1=x2,即函数f(x)的零点为2. 当a 时,x1x2,即函数f(x)的零点为 和2.,类型二 函数零点的判断 【典例2】(1)(2017德州高一检测)已知函数f(x)= -1-log2x,若x0是方程f(x)=0的根,则x0( ),(2)(2017正定高一检测)函数f(x)=2x- ,试确定f(x)的零点的大致区间.,【解题指南】(1)方程f(x)=0的根,即为函数f(x)= -1-log2x的零点,结合各选项,分别计算函数取不同值的符号,根据零点的存在性定理判断即可.,(2)先判断f(x)连续,判断f(x)有一个零点,再初步判断常见的函数值,如f(1),f(2)等,估计出大致区间,根据零点的判断方法,只需计算所给区间的端点函数值,函数值异号对应的区间即为所求.,【解析】(1)选B.因为 所以x0,(2)因为函数y=2x的图象与y= 的图象只有一个交 点,且容易计算f(1)=2-3=-10,所以 f(1)f(2)0,由函数零点存在性定理知,函数 f(x)=2x- 的零点的大致区间为(1,2).,【延伸探究】 1.本例(2)中的函数改为f(x)=2|x|- ,其他条件不变,结果如何?,【解析】易判断函数f(x)=2|x|- 为偶函数,因为 y=2x- 的零点区间为(1,2),所以函数f(x)=2|x|- 的零点区间为(-2,-1)(1,2).,2.把本例(2)的条件改为函数f(x)=2x- -a在(1,2)上有零点,试确定a的取值范围.,【解析】易判断函数f(x)=2x- -a在(1,2)上为增函数, 又函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,所以 f(1)0,解得-1a .,【方法总结】判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代:将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判断. (3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.,【补偿训练】(1)(2017长沙高一检测)根据表中的数据,可以判定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间为 ( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3),(2)确定函数f(x)=lgx- 的零点所在的大致区间.,【解题指南】(1)利用表中的数据分别计算f(-1), f(0),f(1),f(2),f(3)的值,找出函数值异号的两点对应的区间即为所求. (2)根据函数零点存在的判断方法求解.,【解析】(1)选C.因为f(x)=ex-(x+2),由题设知f(1)-0.280,故函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在区间为(1,2). (2)因在第一象限内y=lgx的图象与y= 的图象只有一个交点,且容易计算. f(1)=-10,所以f(1)f(10)0,由函数零点存在性定理知,函数f(x)=lgx- 的零点所在的大致区间是(1,10).,拓展类型:一元二次方程根的分布问题 【典例】已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0有两个不相等的实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.,【解题指南】借助二次函数的图象,讨论区间端点的函数值的符号,列出不等式组,即可解得实数m的取值范围.,【解析】由题意知,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交 点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图,观察图象可得: 解得 所以m的取值范围为,【方法总结】二次方程根的分布问题的求解策略 设x1,x2是实系数方程ax2+bx+c=0(a0)的两实根,则x1,x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系有下表:,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)转化法:函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与x轴的交点. (2)数形结合思想:借助图象交点确定零点及方程根的问题.,