椭圆及其应用,一、椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数 ( )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1，F2 叫作椭圆的 ，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的 ,大于|F1F2|,焦点,焦距,和,在椭圆的定义中，若2a=|F1F2|或2a|F1F2|动点P的轨迹如何？,二、椭圆的标准方程及其几何意义,焦点三角形：椭圆上任一点与两焦点构成的三角形。 周长？正、余弦定理？面积问题？张角问题？,特征三角形：椭圆一个焦点、中心、短半轴构成的三角形。,|x|a；|y|b,|x|b；|y|a,x轴,y 轴、原点,x轴、y轴、原点,a,0,b,0,c,0,0，a,0，b,0，c,2c,a2b2,(0,1),1若椭圆 的离心率为 ，则实数m_,2如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实 数k的取值范围是_,3已知椭圆 的两焦点F1、F2，点 满足 ， 则|PF1|+|PF2| 的取值范围_,4已知椭圆 的左右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若ON=1，则MF1的长为_,5若椭圆 的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为 ，则这个椭圆的方程 _,6.设F1,F2为椭圆 的左右焦点，过椭圆中心作一直线 与椭圆交于P,Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时， _,求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法用特定系数法求椭圆方程的一般步骤是：,(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能,(2)设方程：根据上述判断设方程 (ab0) 或 1(ab0)或mx2ny21 (m、n0) 或 (m、n0) ,(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的 方程组,(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求,1、已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程,2、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过 两点 ，求椭圆的方程,【1解】 设所求的椭圆方程为 1(ab0)， 由已知条件得解得 a4，c2，b212， 故所求方程为,利用定义可得2a，焦点位置不确定要注意讨论.,【2解】：设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0且mn) 椭圆经过P1、P2点，P1、P2点坐标适合椭圆方程， 则 两式联立，解得m 所求椭圆方程为,根据题目条件，选设合适方程形式，简化计算过程,2011北京卷 已知椭圆G： 1(ab0)的离 心率为 ，右焦点为(2 ，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2) (1)求椭圆G的方程； (2)求PAB的面积,(3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三 角形(特征三角形），其中a是斜边，a2b2c2.,1椭圆性质的挖掘 (1)设椭圆 (ab0)上任意一点P(x，y)，则当 x0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当 xa时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处,2离心率 探求a、b、c三个基本量中任意两个关系.,(2)椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c,0)，F2(c,0)构成的PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(ac),(4)过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.,(2009重庆高考)已知椭圆 ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)若椭圆上存在点P使 则该椭圆的离心率的取值范围为_,利用正弦定理得|PF1|、|PF2|的关系，结合定义可得PF2，再根据焦点弦长的最大最小值建立不等关系.,【解析】 在PF1F2中，由正弦定理知 又P在椭圆上，|PF1|PF2|2a，将代入得|PF2| (ac，ac)，同除以a得，1e 1e，,即|PF1|=e |PF2|.,【答案】 ( 1,1),1(2010枣庄一模)设椭圆 (m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的标准方程为_,解析：抛物线y28x的焦点是(2,0)，椭圆的半焦距c2， 即m2n24，又e m4， n212. 从而椭圆的方程为,2(2010广州一模)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且 与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是等腰直角三有形，则这个椭圆的离心率是 _,解析：ABF2是等腰直角三角形，|AF1|F1F2|，将xc代入椭圆方程 得A(c， )，从而 2c，即a2c22ac，整理得e22e10， 解得e1 ，由e(0,1)得e 1.,3如图所示，点P是 椭圆上一点，已知F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF2=30,求F1PF2的面积。,解析： |PF1|+|PF2|=2 ， |F1F2|=2 又在PF1F2中由余弦定理知： |F1F2|2= |PF1|2+|PF2|22 |PF1|PF2|cos30 即4=（ |PF1|+|PF2|）22|PF1|PF2|cos302 |PF1|PF2| |PF1|PF2|= ， SF1PF2=,已知椭圆C的中心为坐标原点，一个长轴端点为(0,1)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形若直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于不同的两点A、B，且 (1)求椭圆C的方程； (2)求实数m的取值范围,(1)待定系数法易求 (2)利用 建立k、m关系，根据建立不等式可求m范围,【解】 (1)依题意a=1，b=c， b2= ， 所求椭圆C的方程为2x2y21. (2)设直线l：ykxm，消去y得 (k22)x22kmxm210， 4k2m24(k22)(m21) 4(2m2k22)0， 2m2k220，x1x2, 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x13x2，消去x1得 消去x2得 3k2m2(k22)(1m2)，k2 2m22 0(m21)(4m21)0， m,1已知椭圆C： 1(ab0)的 离心率为 ，且经过P(1， ) (1)求椭圆C的方程； (2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭 圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由,解：(1)椭圆 (ab0)的离心率为 ，且 经过点P(1, ), 椭圆C的方程为,(2)a24，b23，c 椭圆C的左焦点F的坐标为(1,0) 以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2y24，圆心坐标是(0,0)，半径为2. 以PF为直径的圆的方程为x2 圆心坐标是 ，半径为 两圆心之间的距离为 =2- , 故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切,2 . 如图，已知中心在原点O，焦点在x轴上 的椭圆C的离心率为 ，点A、B分别是椭圆C的长轴、短 轴的端点，点O到直线AB的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EPEQ， 求 的取值范围。,（2）,椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是各地高考考查的重点，多在填空中出现，主要考查学生结合定义，几何性质，分析问题解决问题的能力以及运算能力.2009年江苏综合考查了直线方程的求法、两直线的交点求法及离心率的求法.属中档题.2010年江苏考查了求轨迹方程，直线过定点问题，椭圆的几何性质的挖掘,对方程组的变形处理与运算能力要求较高.2011综合考查了以椭圆为背景，椭圆的几何性质，直线垂直，点到直线距离等。,如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆 (ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_,解析 A1(-a,0)，B2(0，b) 故A1B2的方程为： B1(0，-b)，F(c,0)故B1F的方程为： y= -b. 交点T的坐标满足：,解之得T OT中点 在椭圆 上 故有整理得：3a2-10ac-c2=0. e2+10e-3=0，e=2 - 5.,建立a、b、c的关系是解决离心率问题的关键，要充分利用图形及其性质,