第2章 2.3 第1课时等比数列的概念及通项公式一、选择题1公差不为零的等差数列an，a2，a3，a7成等比数列，则它的公比为()A4 BC. D4答案D解析设等差数列an的公差为d，由题意知d0，且aa2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，化简，得a1d.a2a1dddd，a3a2dddd，4，故选D.2若2a，b,2c成等比数列，则函数yax2bxc的图象与x轴的交点个数是()A0 B1C2 D0或2答案B解析由题意，得b24ac，令ax2bxc0，b24ac0，故函数yax2bxc的图象与x轴相切，故选B.3在等比数列an中，a5a6a73，a6a7a824，则a7a8a9的值等于()A48 B72C144 D192答案D解析设公比为q，则a6a7a8a5a6a7q3，q38.又a7a8a9a6a7a8q3248192.4(2010全国卷)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5 B7C6 D4答案A解析由等比数列的性质知a1a2a3(a1a3)a2a5，a7a8a9(a7a9)a8a10，所以a2a850，所以a4a5a6(a4a6)a5a()3(50)35.5(2011福州高二检测)等比数列an的各项为正数，公比为q，若q24，则的值为()A. BC2 D2答案A解析由q24得q2，因为数列an各项为正数，所以q2，又因为a4a3q，a5a4q，a4a5a3qa1q(a3a4)q，.6(2011沈阳高二检测)已知等比数列an，若a1a220，a3a480，则a5a6等于()A480 B320C240 D120答案B解析a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，(a3a4)2(a1a2)(a5a6)，即80220(a5a6)a5a6320，故选B.二、填空题7设数列an为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_.答案18解析由题意得a4a52，a4a5，q1，a5a4，解得a4，a5，q3，a6a7a5(qq2)18.8若a1，a2，a3，a4，a5为等比数列，其公比为2，则_.答案解析由已知：a32a2，a44a2，a58a2，.三、解答题9已知an为等比数列，a32，a2a4，求an的通项公式解析设等比数列an的公比为q，则q0.a2，a4a3q2q，又2q，解得q或q3.当q时，a118，an18()n1233n；当q3时，a1，an3n123n3.10(2011宿州高二检测)已知数列an是等比数列，首项a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an是等差数列，且b3a3，b5a5，求数列bn的通项公式及前n项的和解析(1)因为数列an是等比数列且a12，a416，所以q38，故q2.数列an的通项公式为：ana1qn122n12n.(2)由(1)知：b3a3238，b5a52532，而数列bn是等差数列，故数列bn的公差d12.所以bn的递项公式bnb3(n3)d8(n3)12即bn12n28(nN)，又b116，所以其前n项的和Sn6n222n.能力提升一、选择题1(2010江西文)等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an()A(2)n1 B(2)n1C(2)n D(2)n答案A解析由a58a2，a5a2知a10，根据a58a2有a1q48a1q得q2.所以an(2)n1.2公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10等于()A18 B24C60 D90答案C解析由aa3a7，得(a13d)2(a13d)(a16d)，得2a13d0，又S88a128d32，a13，d2，Sn10a145d60.故选C.二、填空题3已知a、b、c成等差数列，且a、c、b成等比数列，则a:b:c_.(其中a、b、c不相等)答案4:1:(2)解析由已知，得由，得a2bc，代入得2b2bcc20，解得bc，或(bc舍去)c2b.a2bc4b.a:b:c4b:b:(2b)4:1:(2)4已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q_.答案解析设该正项等比数列为an，公比为q，由题意，得anan1an2anqanq2，q2q10，q0，q.三、解答题5(2010全国文)记等差数列an的前n项和为Sn，S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解析设数列an的公差为d，依题设有，即，解得a11，d3或a18，d4，因此Snn(3n1)，或Sn2n(5n)6有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数解析设四个数依次为ad，a，ad，依题意，得，解得a4或9.当a4时，d4，这四个数依次为0,4,8,16.当a9时，d6，这四个数为15,9,3,1.这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.7设数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1,2,3)求证：数列是等比数列解析an1Sn1Sn，an1Sn.(n2)Snn(Sn1Sn)，整理得nSn12(n1)Sn.2.故是以2为公比的等比数列8(2011江西)已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解析(1)设an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)即q24q20，解得q12，q22所以an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10(*)由a0得4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根由an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.