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学业分层测评(四) 1.1.4锐角三角函数与射影定理(建议用时:40分钟)学业达标(时间40分钟,满分60分)1.ABC中,ACB90,CDAB于D,AD3,BD2,则ACBC 的值是()A.32B.94C.D.【解析】如图,在RtACB中,CDAB,由射影定理知AC2ADAB,BC2BDAB,又AD3,BD2,ABADBD5,AC23515,BC22510.,即ACBC,故选C.【答案】C2.在RtACB中,ACB90,CDAB于D,若BDAD14,则tanBCD的值是()A. B. C.D.2【解析】如图,由射影定理得CD2ADBD,又BDAD14,令BDx,则AD4x(x0).CD2ADBD4x2,CD2x,在RtCDB中,tanBCD.【答案】C3.在RtABC中,BAC90,ADBC于点D,若,则等于()A. B. C.D.【解析】如图,由射影定理,得AC2CDBC,AB2BDBC,()2,即,.【答案】C4.在RtABC中,BAC90,ADBC,垂足为D.若BCm,B,则AD长为()A.msin2B.mcos2C.msin cos D.msin tan 【解析】由射影定理得,AB2BDBC,AC2CDBC,即m2cos2BDm,m2sin2CDm,即BDmcos2,CDmsin2,又AD2BDDCm2cos2sin2,ADmcos sin .故选C.【答案】C二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图1163,在矩形ABCD中,AEBD,OFAB.DEEB13,OFa,则对角线BD的长为_.图1163【解析】OFa,AD2a,AEBD,AD2DEBD.DEEB13,DEBD,AD2BDBD.BD24AD244a216a2,BD4a.【答案】4a6.RtABC中,ACB90,CD是高,AC12cm,BC15cm,则SACDSBCD_.【解析】ACB90,CD是高,AC2ADAB,BC2BDAB,ADBDAC2BC2.又SACDADCD.SBCDBDCD,SACDSBCDADBDAC2BC2.又AC12,BC15,SACDSBCD1442251625.【答案】1625三、解答题(每小题10分,共30分)7.已知直角三角形周长为48cm,一锐角平分线分对边为35两部分. (1)求直角三角形的三边长;(2)求两直角边在斜边上的射影的长.【解】(1)如图,设CD3x,BD5x,则BC8x,过D作DEAB,由题意可得,DE3x,BE4x,AEAC12x48.又AEAC,AC246x,AB242x,(246x)2(8x)2(242x)2,解得:x10(舍去),x22,AB20,AC12,BC16,三边长分别为:20cm,12cm,16cm.(2)作CFAB于F,AC2AFAB,AF(cm);同理:BF(cm).两直角边在斜边上的射影长分别为cm,cm.8.如图1164,RtABC中有正方形DEFG,点D、G分别在AB、AC上 ,E、F在斜边BC上,求证:EF2BEFC.【导学号:61650009】图1164【证明】如图,过点A作AHBC于H.DEAHGF.,.又AH2BHCH,DEGFBEFC.而DEGFEF.EF2BEFC.能力提升9.如图1165,已知:BD,CE是ABC的两条高,过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H,交CE于F,且HBCF,求证:GD2GFGH.图1165【证明】HBCE,EBCGBH,BCEBHG,BECBGH90,HGBC.BDAC,在RtBCD中,由射影定理得,GD2BGCG.FGCBGH90,GCFH,FCGBHG,BGGCGHFG.由得,GD2GHFG.
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