数学人教B选修4-5第三章3.1数学归纳法原理1了解数学归纳法的原理2了解数学归纳法的应用范围3会用数学归纳法证明一些简单问题1归纳法由有限多个个别的特殊事例得出_的推理方法，通常称为归纳法根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法(1)不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特例得到一般结论的推理方法不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学问题的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径(2)完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法【做一做11】观察式子：1，1，1，则可归纳出_【做一做12】从11,14(12),149123，猜想第n个式子为_2数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)_；(2)_完成两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为_（1）这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断可能得出不正确的结论因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了（2）用数学归纳法证明有关的问题的关键在第二步，即n=k+1时为什么成立？n=k+1时成立是利用假设n=k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时也成假设了，命题并没用得到证明。（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。【做一做21】下列说法中不正确的是()A数学归纳法中的两个步骤相互依存，缺一不可B数学归纳法证明的是与正整数有关的命题C数学归纳法证明的第一步是递推的基础，第二步是递推的依据D数学归纳法中第一步必须从n1开始【做一做22】对于不等式n1(nN*)，某同学的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*，且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立上述的证明过程中，不正确的一步的序号为_答案：1一般结论【做一做11】1式子左侧为正整数平方的倒数和，右侧规律为：分子为3,5,7,9，分母为2,3,4,5，故归纳，得1.【做一做12】14916(1)n1n2(1)n1(12n)(1)n12(1)证明当nn0时命题成立(2)假设当nk(kN，且kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立数学归纳法【做一做21】D【做一做22】(2)在(2)中，由nk到nk1的证明，没有用上归纳假设，故(2)错误1为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢？剖析：这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时成立，这样假设就有了存在的基础假设nk成立，根据假设和合理推证，证明出nk1也成立这实质上是证明了一种循环如验证了n01成立，又证明了nk1也成立，这就一定有n2成立，n2成立，则n3也成立；n3成立，则n4也成立如此反复，以至无穷对所有nn0的整数就都成立了数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇2什么时候可以运用数学归纳法证明，证明时n0是否一定要为1?剖析：数学归纳法一般被用于证明某些涉及正整数n的命题，n可取无限多值，但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明n(nN*)的单调性就难以实现，一般说来，从nk到nk1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则使用数学归纳法就较简单，否则使用数学归纳法就有困难在运用数学归纳法时，要注意起点n并非一定取1，也可能取2等值，要看清题目，比如证明凸n边形的内角和f(n)(n2)180，这里面的n应不小于3，即n3，第一个值n03.题型一 用数学归纳法证明恒等式【例题1】用数学归纳法证明：.“”用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的关键是第二步，要注意当nk1时等式两边的式子与nk时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决反思：解题过程中容易将nk1时，等式右边错写为，从而导致证明错误或无法进行，特别要注意等式右边的每一个式子都在随n的变化而变化题型二 用数学归纳法证明整除性问题【例题2】求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*.分析：对于多项式A，B，如果ABC，C也是多项式，那么A能被B整除若A，B都能被C整除，则AB，AB也能被C整除反思：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项、因式分解等手段，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证题型三 数学归纳法证明几何问题【例题3】平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)n2n2个部分(nN*)分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n，即f(n1)f(n)2n.有了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而解反思：对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎样变化的，然后再去证明，也可以用“递推”的办法，比如说本题，nk1时的结果已知道：f(k1)(k1)2(k1)2，用f(k1)f(k)就可得到增加的部分，然后从有限的情况来理解如何增加的，也就好理解了题型四 易错辨析易错点：在应用数学归纳法证明有关问题时，两步缺一不可，且最易出错的地方是在第二步证明中未用归纳假设【例题4】已知数列an中，a13，其前n项和Sn满足Sn62an1，计算a2，a3，a4，然后猜想出an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论错解：当n2时，anSnSn162an1(62an)2an2an1，即an1an.a13，a2a1，a3，a4.猜想an3n1(nN*)下面用数学归纳法证明an3n1(nN*)(1)当n1时，a1303，猜想成立(2)假设nk(kN*，且k1)时，ak3k1成立，则当nk1时，ak1ak，又a13，an是首项为3，公比为的等比数列ak13k11，即当nk1时，猜想也成立综上，猜想对nN*都成立错因分析：本题在证明时出现了两个错误：(1)应由a1S162a2，得a2，从而猜想an(2)未用归纳假设答案：【例题1】证明：(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk(kN*，且k1)时，等式成立，即，则当nk1时，即当nk1时，等式成立根据(1)(2)可知，对一切nN*，等式成立【例题2】证明：(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设nk(kN*，且k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，得上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立由(1)(2)知，对nN*，命题成立【例题3】证明：(1)当n1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)1122，所以n1时命题成立(2)假设nk(kN*，且k1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分，则nk1时，在k1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.所以当nk1时，命题成立综合(1)(2)可知，对一切nN*，命题成立【例题4】正解：以上同错解中的过程，猜想an下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，a13，符合题意；当n2时，a2，符合题意(2)假设nk(kN*，且k2)时，猜想成立，即ak(k2)，则当nk1时，ak1ak，nk1时，猜想也成立由(1)(2)可知，猜想对一切nN*都成立1下列代数式中，nN*，则可能被13整除的是()An35n B34n152n1C62n11 D42n13n22凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n23下列四个判断中，正确的是()A式子1kk2kn(nN*)，当n1时恒为1B式子1kk2kn1(nN*)，当n1时恒为1kC式子(nN*)，当n1时恒为1D设f(n)(nN*)，则f(k1)f(k)4已知数列an中，a11，a22，an12anan1(nN*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，则下一步证_5某同学用数学归纳法证明等式12222n12n1的过程如下：n1时，左边1，右边1，等式成立；假设nk(kN*，且k1)时，等式成立，即12222k12k1；那么nk1时，12222k12k2k11，即nk1时等式成立根据、对任意正整数n等式成立以上证明过程的错误是_答案：1Dn1时，只有D项能被13整除2C从凸n边形到凸(n1)边形，对角线增加了(n1)条3C对于选项A，n1时，式子应为1