2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学),1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义. 2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性. 3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图象等.,1,2,3,1.奇、偶函数的概念,名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求xD,-xD,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求xD,-xD,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.,1,2,3,A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案:C 【做一做1-2】 下列条件可以说明函数y=f(x)是偶函数的是( ) A.在定义域内存在x,使得f(-x)=f(x) B.在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x) C.对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x) D.对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x) 答案:D,1,2,3,解析:满足奇函数的定义,满足偶函数的定义. 答案: ,1,2,3,2.奇函数、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.,1,2,3,答案:C 【做一做2-2】 函数f(x)是偶函数,则其图象( ) A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称 答案:C,1,2,3,3.(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令步骤 (1)给自变量x赋值; (2)给出计算法则,求对应的y值; (3)由x和对应的y值组成有序数对集合; (4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集; (5)通过这些点集描出函数的图象. 注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.,一、解读函数的奇偶性 剖析:(1)函数的奇偶性与单调性的差异.奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势.奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x),才能说f(x)是奇(偶)函数. (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.由函数奇偶性的定义知,若x是定义域中的一个数值,则-x必然在定义域中,因此,函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则函数一定不具有奇偶性.如函数y=2x在(-,+)上是奇函数,但在-2,3上不具有奇偶性.,(3)根据函数奇偶性的定义,函数可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数.当函数f(x)的定义域不关于原点对称,或虽然定义域关于原点对称,但f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)时,f(x)是非奇非偶函数.尤其要注意f(x)=0,xA,若定义域A关于原点对称,则它既是奇函数又是偶函数. (4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,则一定有f(0)=0.但要注意,反之结论是不一定成立的. (5)若函数f(x)是偶函数,则有f(x)=f(-x)=f(|x|). 知识拓展奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间a,b,-b,-a(0ab)上有相同的最大(小)值.,二、判断函数奇偶性的几种方法 剖析:判断函数的奇偶性,常用的有定义法、图象法、性质法. (1)根据函数奇偶性的定义判断,其基本步骤为: 求函数的定义域并考察定义域是否关于原点对称.若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合,因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.例如,函数f(x)=x4+1,x-1,2,因为它的定义域不关于原点对称,当1x2时,f(-x)没有定义,所以它不符合奇函数、偶函数的定义,故f(x)=x4+1,x-1,2是非奇非偶函数.,若定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇(偶)函数.例如,f(x)=x2+x,g(x)=x3+1,它们的定义域都是R,因为f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-xf(x)(或-f(x),所以它是非奇非偶函数.同理可证g(x)=x3+1也是非奇非偶函数. 得出结论.,名师点拨1.定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数既是奇函数又是偶函数.例如,f(x)=0,xR;f(x)=0,x-2,2;f(x)=0,x(-1,1)等.注意:既是奇函数又是偶函数的函数有无数个. 2.分段函数奇偶性的判断关键是搞清x与-x的所在范围及其对应的函数关系式,并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断,而不能以其中一个区间来代替整个定义域. 3.判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f(-x)f(x)=0或,(2)借助函数的图象判断奇偶性.例如,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称等,从而直观地判断函数的奇偶性. (3)根据性质来判断函数的奇偶性,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论要注意各函数的定义域) 特别地,F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x)=f(x)-f(-x)为奇函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例1】 判断下列函数是奇函数还是偶函数,并说明理由. (1)f(x)=x3+2x; (2)f(x)=x2-|x|+1; (3)f(x)=(x+4)2; (4)f(x)=|x-3|-|x+3|; 分析:用定义判断函数的奇偶性时,先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,从而判断函数的奇偶性.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称. 又因为f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x),即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. (2)函数的定义域为R,关于原点对称. 又因为f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1, 即f(-x)=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. (3)函数定义域为R,关于原点对称. 又因为f(-x)=(-x+4)2=(x-4)2f(x), 且f(-x)-f(x), 所以函数f(x)是非奇非偶函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(4)函数定义域为R,关于原点对称. 又因为f(-x)=|-x-3|-|-x+3|=|x+3|-|x-3|=-(|x-3|-|x+3|)=-f(x). 所以函数f(x)是奇函数. (5)因为函数的定义域为x|x1,不关于原点对称, 所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 于是x2=16, 即x=4. 故函数定义域为4,-4,关于原点对称. 又因为当x4,-4时,f(x)=0, 所以f(-x)=f(x)=-f(x). 所以函数f(x)既是奇函数,也是偶函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思判断函数奇偶性的主要依据就是奇偶性的定义.若一个函数是非奇非偶函数,有时只要说明它的定义域不关于原点对称即可.例如,本例中的(5)小题,在x1时,虽有,但它并不是奇函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例2】 (1)如图给出偶函数y=f(x)的局部图象,则f(1)+f(-2)的值是 . (2)若奇函数f(x)的定义域为-5,5,其y轴右侧的图象如图所示,则f(x)0的x的取值集合为 . 分析:根据奇函数、偶函数图象的对称性解题.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2)奇函数f(x)在-5,5上的图象如图所示,由图象可知,当x(2,5)时,f(x)0;当x(-5,-2)时,f(x)0;当x(-2,0)时,f(x)0;因此,使f(x)0的x的取值集合为x|-2x0或2x5. 答案:(1)2 (2)x|-2x0或2x5,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性,因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时,不妨利用图象的对称性来解决,或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练2】 若f(x)是奇函数,且点(1,-4)在其图象上,那么下列各点中在f(x)图象上的是( ) A.(1,4) B.(-4,1) C.(-1,-4) D.(-1,4) 解析:点(1,-4)关于原点对称的点是(-1,4)也在函数图象上. 答案:D,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析:因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1),故只需求f(1)即可.,反思充分利用奇函数的性质,无需求出当x-5,0时f(x)的解析式,通过转化只需求f(1)的值即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,答案:-6,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域为a-1,2a,求a,b的值. 分析:对于(1),可根据奇函数的定义列出关于m的方程求解,也可采用特殊值法f(0)=0求解;对于(2),先由定义域的对称性求出a的值,再根据偶函数的定义求b的值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思已知函数f(x)是奇函数或偶函数,求f(x)解析式中的参数值问题,通常有两种解法,一是直接根据奇函数或偶函数定义的等价形式,建立关于参数的等式求值;二是采用取特殊值的方法求出参数值,然后再代入验证.特别地,当f(x)是在原点有定义的奇函数时,可利用f(0)=0求得参数值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练4】 若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= . 解析:依题意,f(-x)=f(x)恒成立, 即x2-|-x+a|=x2-|x+a|恒成立, 即|x-a|=|x+a|恒成立. 故a=0. 答案:0,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例5】 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x0上. 解:当x0时,-x0,因为f(x)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x) =-(-x)1-(-x)=x(1+x), 当x=0时,f(0)=-f(0),即f(0)=0. 所以当x0时,f(x)=x(1+x). 反思注意求哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,则-x为另一已知解析式的区间上的变量,通过互化,求得所求区间上的解析式.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(1)确定函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式f(t-1)+f(t)0. (2)利用函数单调性的定义证明; (3)先将f(t-1)+f(t)0