数学人教B选修4-5第三章3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式1会用数学归纳法证明简单的不等式2会用数学归纳法证明贝努利不等式3了解贝努利不等式的应用条件1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k1”成立时其他的方法如_、_、_、_等常被灵活地应用【做一做11】欲用数学归纳法证明：对于足够大的正整数n，总有2nn3，n0为验证的第一个值，则()An01 Bn0为大于1小于10的某个整数Cn010 Dn02【做一做12】用数学归纳法证明“1n(nN*，n1)”时，由nk(k1)不等式成立推证nk1时，左边应增加的项数是()A2k1 B2k1C2k D2k12用数学归纳法证明贝努利不等式(1)定理1(贝努利不等式)：设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x)n_.(2)定理2：设为有理数，x1，如果01，则(1x)_；如果0或者1，则(1x)_.当且仅当_时等号成立当指数推广到任意实数且x1时，若01，则(1x)1x；若0或1，则(1x)1x.当且仅当x0时等号成立答案：1比较法分析法综合法放缩法【做一做11】Cn1时，21；n2时，48；n3时，827；n4时，1664；n5时，32125；n6时，64216；n7时，128343；n8时，256512；n9时，512729；n10时，1 0241 000.故选C.【做一做12】C增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.2(1)1nx(2)1x1xx0应用数学归纳法证明不等式，从“nk”到“nk1”证明不等式成立的技巧有哪些？剖析：在用数学归纳法证明不等式的问题中，从“nk”到“nk1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“nk”到“nk1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“nk”到“nk1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构题型一 利用数学归纳法证明数列型不等式【例题1】已知数列an满足a1，且an(n2，nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求证：对一切正整数n，不等式a1a2an2n！恒成立分析：由题设条件知，可用构造新数列的方法求得an；第(2)问的证明，可以等价变形，视为证明新的不等式反思：利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这类难题一是要仔细观察题目的结构，二是要靠经验积累题型二 利用数学归纳法比较大小【例题2】已知f(x)，对于xN*，试比较f()与的大小，并说明理由分析：先通过n取比较小的值进行归纳猜想，确定证明方向，再用数学归纳法证明反思：利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明方向，再利用数学归纳法证明结论成立题型三 利用数学归纳法证明探索型不等式【例题3】若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论分析：用数学归纳法证明从nk到nk1时，为利用假设需增加因式，对于除含有nk的因式外的其余的项运用不等式的性质证明其大于零即可反思：利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察归纳猜想证明，即先通过观察部分项的特点进行归纳，判断并猜测出一般结论，然后用数学归纳法进行证明答案：【例题1】解：(1)将条件变形为1，因此，数列1为一个等比数列，其首项为1，公比为，从而1，据此，得an(n1)(2)证明：据得，a1a2an.为证a1a2an2n！，只要证nN*时，有.显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个nN*，1.下面用数学归纳法证明式：当n1时，显然式成立；假设nk(kN*，且k1)时，式成立，即1，则当nk1时，11.即当nk1时，式也成立故对一切nN*，式都成立利用，得111n.故原不等式成立【例题2】解：据题意f(x)1，f()1.又1，要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，当n1时，212121；当n2时，22422；当n3时，238329；当n4时，241642；当n5时，25325225；当n6时，26646236.故猜测当n5(nN*)时，2nn2.下面用数学归纳法加以证明：(1)当n5时，命题显然成立(2)假设nk(k5，且kN*)时，不等式成立，即2kk2(k5)，则当nk1时，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2(k1)22)由(1)(2)可知，对一切n5，nN*,2nn2成立综上所述，当n1或n5时，f()；当n2或n4时，f()；当n3时，f().【例题3】解：a的最大值为25.证明如下：当n1时，即，a26，而aN*，取a25.下面用数学归纳法证明.(1)n1时，已证(2)假设当nk(kN*，且k1)时，则当nk1时，有.，0.也成立由(1)，(2)可知，对一切nN*，都有，a的最大值为25.1下列选项中，满足122334n(n1)3n23n2的自然数n是()A1 B1,2C1,2,3 D1,2,3,42用数学归纳法证明“(nN*)”时，由nk到nk1时，不等式左边应添加的项是()ABCD3证明1n1(n1)，当n2时，要证明的式子为_4用数学归纳法证明，假设nk时不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_答案：1C将n1,2,3,4分别代入验证即可2Cnk时，而nk1时，左边.故nk到nk1时，不等式左边应添加的项为.32134假设nk时不等式成立，即，则当nk1时，左边，下面只需证明即可1用数学归纳法证明(nN*，且n1)时，第一步即证下述哪个不等式成立()A12 BC D答案：Cn2时，左边，右边2，所以应证.2用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n，都有”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()An01 Bn02Cn01,2 D以上答案均不正确答案：A3设n为正整数，计算得，f(4)2，f(16)3，观察上述记录，可推测出一般结论()A BC D以上都不对答案：Cf(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，所以f(2n).4设M2n2，Nn2(nN*)，则M，N之间的大小关系为_答案：MN5已知(n1，nN*)，证明(n2，nN*)成立的第一步是_答案：n2时，S226证明不等式：(nN*)答案：证明：(1)当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k1，且kN*)时，不等式成立，即成立，则当nk1时，左边，即当nk1时，不等式成立由(1)、(2)得不等式对nN*成立7用数学归纳法证明：(n1，nN*)答案：证明：(1)当n2时，2！2，不等式成立(2)假设nk(k2，且kN*)时，不等式成立，即k！，则当nk1时，(k1)k！(k1)！.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)，知对n1的一切正整数，不等式都成立8设Pn(1x)n，nN*，x(1，)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明答案：解：(1)当n1,2时，PnQn.(2)当n3时，(以下再对x进行分类)若x(0，)，显然有PnQn.若x0，则PnQn.若x(1,0)，则P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假设PkQk(k3，且kN*)，则Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xQk1Qk1，即当nk1时，不等式成立所以当n3，且x(1,0)时，PnQn.9求证：当n1(nN*)时，.答案：证明：(1)当n1时，左边右边，命题成立当n2时，左边22，命题成立(2)假设当nk(kN*，且k2)时，命题成立，即(12k)k2，则当nk1时，有左边(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).当k2时，(*)左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说当nk1时，命题成立由(1)(2)，可知当n1时原命题成立