1.2.2空间中的平行关系学习目标：1.理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义(重点)2.能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理(重点)3.能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题(难点)自 主 预 习探 新 知1直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a，a，bab图形语言思考1：(1)若直线a平面，则直线a平行于平面内的任意一条直线，对吗？(2)若直线a与平面不平行，则直线a就与平面内的任一直线都不平行，对吗？提示 (1)不对若直线a平面，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面内的一组直线平行(2)不对若直线a与平面不平行，则直线a与平面相交或a.当a时，内有无数条直线与直线a平行2平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言，a，bab图形语言思考2：(1)两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都互相平行吗？(2)两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？提示 (1)不一定因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面 (2)平行因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行基础自测1思考辨析(1)若直线a平面，直线a直线b，则直线b平面.( )(2)若直线a平面，则直线a与平面内任意一条直线都无公共点( )(3)若，则平面内有无数条互相平行的直线平行于平面.( )提示 (1) b也可能在平面内(2) (3)2.如图2215所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EHFG，则EH与BD的位置关系是( ) 图2215A平行 B相交C异面D不确定 A EHFG，FG平面BCD，EH平面BCD，EH平面BCD.EH平面ABD，平面ABD平面BCDBD，EHBD.选A.3如图2216，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ABB1A1平面CDD1C1，且AFEC1，则四边形AEC1F的形状是_图2216平行四边形 因为AFEC1，所以AF，EC1确定一个平面.平面平面CDD1C1C1F，平面平面ABB1A1AE，又平面ABB1A1平面CDD1C1，所以AEC1F，所以四边形AEC1F是平行四边形合 作 探 究攻 重 难直线与平面平行的性质定理 如图2217，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：APGH. 图2217证明 如图，连接AC，交BD于点O，连接MO. 四边形ABCD是平行四边形，点O是AC的中点又点M是PC的中点，APOM.又AP平面BDM，OM平面BDM，AP平面BDM.平面PAHG平面BDMGH，AP平面PAHG，APGH. 规律方法 应用线面平行性质定理的步骤线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论.跟踪训练1如图2218，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1A1EF，B1CC1EG.求证：ACFG. 图2218证明 连接A1C1，ACA1C1，A1C1平面A1EC1，AC平面A1EC1，AC平面A1EC1.又平面A1EC1平面AB1CFG，ACFG.面面平行性质定理的应用 如图2219，已知，点P是平面，外的一点(不在与之间)，直线PB，PD分别与，相交于点A，B和C，D.(1)求证：ACBD；(2)已知PA4，AB5，PC3，求PD的长. 图2219思路探究：(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.解 (1)证明：PBPDP，直线PB和PD确定一个平面，则AC，BD.又，ACBD.(2)由(1)得ACBD，CD，PDPCCD.规律方法 利用面面平行性质定理的基本步骤利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行.提醒：应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来.跟踪训练2如图2220，平面平面，AB，CD是两异面直线，且A，C，B，D，M，N分别在线段AB，CD上，且.求证：MN. 图2220证明 如图，过点A作AECD，AEE，连接BE，在平面ABE内作MPBE，MP交AE于P，连接NP，DE，则.，.平面平面，平面ACDEED，平面ACDEAC，ACED，PNED.PN，ED，PN.PMBE，PM，BE，PM.又PMPNP，平面PMN平面.MN平面PMN，MN.平行关系的综合应用探究问题1应用线面平行性质定理有什么技巧？提示 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？提示 两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？提示 三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示： 如图2221，四边形ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG. 图2221思路探究：(1)线面平行线线平行(2)面面平行线面平行线线平行解 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.规律方法 空间平行关系的转化及推论(1)三种平行关系的转化,要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.(2)面面平行的性质定理的几个推论两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 夹在两平行平面间的平行线段相等. 经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.跟踪训练3如图2222，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1. 图2222证明 因为F为AB的中点，所以AB2AF.又因为AB2CD，所以CDAF.因为ABCD，所以CDAF，所以AFCD为平行四边形 所以FCAD.又FC平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以FC平面ADD1A1.因为CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，所以CC1平面ADD1A1，又FCCC1C，所以平面ADD1A1平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.当 堂 达 标固 双 基1已知长方体ABCDABCD，平面平面ABCDEF，平面平面ABCDEF，则EF与EF的位置关系是( ) A平行 B相交C异面D不确定A 平面ABCD平面ABCD，平面平面ABCDEF，平面平面ABCDEF，EFEF.故选A.2如图2223，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则( ) 图2223AMNPDBMNPACMNAD D以上均有可能B 四棱锥PABCD中，M、N分别为AC、PC上的点，且MN平面PAD，MN平面PAC，平面PAC平面PADPA，由直线与平面平行的性质定理可得：MNPA.故选B.3过两平行平面，外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交于A，C两点，交于B，D两点，若PA6，AC9，PB8，则BD的长为_12 两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面，的交线ACBD，所以，又PA6，AC9，PB8，故BD12.4如图2224所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面平行，且四边形ABCD在平面内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是_图2224平行四边形 因为平面ABCD，平面AA1B1BA1B1，平面AA1B1B平面ABCDAB，所以ABA1B1，同理可证CDC1D1，又A1B1C1D1，所以ABCD，同理可证ADBC，所以四边形ABCD是平行四边形 5如图2225，CD，EF，AB，AB.求证：CDEF. 图2225