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1函数的视角看数列数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.下面从函数角度对数列有关问题进行分析,体会数列与函数的有机结合.一、利用函数单调性求数列的最大项例1已知数列an的通项公式为annn+1,nN,则该数列是否有最大项,若有,求出最大项的项数;若无,说明理由.分析设anf(n),可通过函数f(n)的单调性来判断数列的单调性,从而求解.解设anf(n),则f(n)nn+1,f(n1)(n1)n+2.则f(n1)f(n)(n1)n+2nn+1n+1,当n3时,f(n1)f(n)0.综上可知,an在n1,2,3时,单调递增;在n4,5,6,7,时,单调递减.所以存在最大项,且第4项为最大项.点评数列可以看作是一个定义在正整数集(或其子集)上的函数,当自变量从小到大依次取值时,对应的一组函数值.数列的通项公式体现了数列的项与其序号之间的对应关系.二、利用函数思想求数列的通项例2已知数列an的通项公式ann2n,nN,若:(1)数列bn满足bna2n1,求bn的通项公式;(2)数列cn满足cn,求cn的通项公式.分析设anf(n),函数f(n)中的n用某一代数式(n)代替,整理,即可求解.解设f(n)n2n,则:(1)bnf(2n1)(2n1)22n14n22n,则bn4n22n,nN.(2)cnf(2n1)(2n1)22n14n2n,则cn4n2n,nN.点评数列是特殊的函数,因此要善于运用函数的观点、知识来解决数列的有关问题,居高临下使问题变得清晰,问题的解决也往往简捷得多.三、利用函数周期性求数列的项例3已知数列an中,a11,a26,an2an1an,则a2018的值为.分析如果直接求a2018,运算量太大,而求通项an也很难办到,那么数列an的各项之间是否有规律可循?不妨从前几项入手试一试.解析由a11,a26,及an2an1an,得a3a2a1615,a4a3a2561,a5a4a3156,a6a5a46(1)5,a71,a86,a95,a101,a116,a125,因此an是以6为周期的数列,所以a2018a63362a26.答案6点评由数列的递推公式写出数列的前几项,再由前几项归纳、猜想、发现数列的周期性,从而解决问题.2求数列通项的四大法宝一、公式法当题设中有an与Sn的关系式时,常用公式an来求解.例1已知数列an的前n项和Sn3n2,求其通项公式an.解当n1时,a1S13121;当n2时,anSnSn13n2(3n12)3n3n123n1,又a112311,所以数列an的通项公式an二、叠加法若数列an满足anan1f(n1)(n2),且f(1)f(2)f(n1)可求,则可用叠加法求通项公式.例2已知数列an满足a11,an3n1an1(n2),求其通项公式an.解由已知,得anan13n1(n2),所以a2a13,a3a232,a4a333,anan13n1,以上式子左右两边分别相加,得ana1332333n1,所以an1(n2),又当n1时,a11,所以an(nN).三、叠乘法若数列an满足f(n1)(n2),其中f(1)f(2)f(n1)可求,则可用叠乘法求通项公式.例3已知在数列an中,a13,anan1(an0,n2),求其通项公式an.解由a13,anan1,得,所以,(n2),以上式子左右两边分别相乘,得,所以an(n2),又a13,所以an(nN).四、构造法当题中出现an1panq(pq0且p1)的形式时,把an1panq变形为an1p(an),即an1pan(p1),令(p1)q,解得,从而构造出等比数列an.例4数列an满足a11,an1an3(nN),求其通项公式an.解设an1t(ant),则an1ant,与已知比较,得t3,所以t4,故an14(an4).又a141430,故数列an4是首项为3,公比为的等比数列,因此an43n1,即an43n1(nN).3函数思想在等差数列中的妙用性质1:在等差数列an中,通项公式ana1(n1)d,变形为andn(a1d),知点(n,an)均在直线ydx(a1d)上.例1在等差数列an中,a1221,a45153,那么225是第几项?解由andna1d,知点(n,an)在直线ydxa1d上,所以d,代入数据得,得n63,即225是这个数列中的第63项.性质2:在等差数列an中,其前n项和Snna1d,变形为n,知点均在直线yxa1上.例2在等差数列an中,S1020,S50200,则S2010的值为.解析由SnAn2Bn,知AnB,所以点在直线yAxB上,于是点,三点共线,成立.把S1020,S50200代入上式,解得S2010205020.答案205020性质3:在等差数列an中,其前n项和Snna1d,变形为Snn2n,若设A,Ba1,则SnAn2Bn,且点(n,Sn)均在曲线yAx2Bx上.例3已知等差数列an中,SmSn (mn),则Smn.解析由SnAn2Bn,知点(n,Sn)在抛物线yAx2Bx上.又SmSn,所以点P1(m,Sm)与点P2(n,Sn)关于抛物线的对称轴对称,而对称轴方程为x,不妨设A0,S120,S130,S130.a13S13S120,a130,d0,S130,122n013,6n06.5.易知n6对应的A(6,S6)与对称轴的距离比n7对应的B(7,S7)与对称轴的距离更小.A点为最高点,S6最大.由上述例子可见,解等差数列问题时,若能灵活运用函数的思想与方法,可以简化运算过程,开拓解题思路,收到事半功倍的效果.4提高运算速度七妙招数列问题的灵活性、技巧性较强,因此,在解数列问题时必须研究技巧与策略,以求做到:选择捷径、合理解题,本文归纳了七种常见策略.第一招活用概念数列的概念是求解数列问题的基础,灵活运用数列的概念,往往能出奇制胜.例1已知an是公差为2的等差数列,若a1a4a7a97100,那么a2a5a8a98等于()A.166B.66C.34D.100解析若先求出a1,再求和,运算较为繁琐.注意到两个和式中的项数相等,且均是等差数列.由于(a2a5a8a98)(a1a4a7a97)(a2a1)(a5a4)(a8a7)(a98a97)33d66,所以a2a5a8a9810066166,故选A.答案A点评活用等差、等比数列的概念,沟通有关元素间的内在联系,使运算得以简化.第二招巧用性质数列的性质是数列的升华,巧妙运用数列的性质,往往可以使问题简单明了,解题更快捷方便.例2各项均为正数的等比数列an中,若a7a89,则log3a1log3a2log3a14等于()A.12B.14C.10D.10log32解析若设出a1和q,利用基本量法求解,显然运算量较大.若利用性质a1a14a2a13a7a89,则a1a2a14(a7a8)797,所以log3a1log3a2log3a14log39714,故选B.答案B点评数列的性质是对数列内涵的揭示与显化,是求解数列问题的有力武器.第三招灵用变式在求解数列问题过程中,可以利用等差或等比数列的变形公式来处理有关问题.例3已知等差数列an中,a33,a10388,则该数列的通项an.解析利用等差数列的变形公式求得公差,再结合等差数列的变形公式求得通项.设等差数列an的公差为d,则d55,ana3(n3)d3(n3)5555n162(nN).答案55n162(nN)点评常规方法是联立方程组,求出首项与公差,再由数列的通项公式求解.而利用变形公式可以回避求解数列的首项,直接求解公差,再结合变形公式求得通项.第四招整体考虑通过研究问题的整体形式、整体结构,避免局部运算的困扰,达到简捷解决问题的目的.例4设Sn表示等差数列an的前n项和,且S918,Sn240,若an430,试求n的值.解常规解法是设出基本量a1,d,列方程组求解,但较烦琐.若能利用整体思维,则可少走弯路,使计算合理又迅速.由S918,即18,则a1a942a5,故a52.又Sn240,所以n15.点评本题解法不在a1,d上做文章,而是将Sn变形整理,用a5an4表示,使解题过程大大简化.第五招数形结合数列是一类特殊的函数,所以可以借助函数的图象,通过数形结合解数列问题.例5在公差d0的等差数列an中,已知S8S18,则此数列的前多少项的和最大?解用数形结合法解等差数列问题应抓住两个方面:通项ax联系一次函数,对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型,可简化解题过程;前x项和Sx联系二次函数,利用二次函数的对称性及最值.设f(x)Sxxa1dx2x,则(n,Sn)在二次函数的图象上.由于S8S18,d0,所以yf(x)的对称轴是x13,且开口向下,故当x13时,f(x)取得最大值,故数列an的前13项的和最大.点评从直观性角度研究数列问题,可使问题变得生动形象,易于求解.第六招分解重组在处理数列求和问题时,若数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分,则对数列的前n项和进行重新分解,分别求和.例6在数列an中,已知a1,a2,且bn是公差为1的等差数列,bnlog2,cn是公比为的等比数列,cnan1an,求数列an的通项公式an及前n项和Sn.
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