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2.1.3 函数的单调性,中国在近七届奥运会上获得的金牌数,情景引入,德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据,艾宾浩斯记忆遗忘曲线,记忆保持量(百分数),天数,O,20,40,60,80,100,3,2,1,4,5,6,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 x2 时,都有f(x1) f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数,x1,x2,y=f(x),f(x1),f(x2),新课学习,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数,y=f(x),f(x1),f(x2),x1,x2,注意:如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性.(区间M称为单调区间),例题巩固,1.证明函数f(x)=2x+1在(-,+)上是增函数.,则:,证明:设 是任意两个不相等的实数,且,所以函数f(x)=2x+1在(-,+)上是增函数,2.证明函数 ,在区间(-,0)和(0,+)上分别是减函数.,证明: 设是(-,0)内的任意两个不相等的负实数,且 ,则,同理,对区间( 0,+ )内的任意两个不相等的正实数 ,且 ,同样有,1.下图是定义在闭区间-5,5上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数.,解:函数y=f(x) 的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中y=f(x)在区间-5,-2), 1,3)上是减函数,在区间-2,1), 3,5上是增函数.,y=f(x),练习精讲,2.证明函数f(x) =3x+2 在R上是增函数,证明:设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1 x2,则 f(x1) -f(x2) =(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2) 由x1 x2,得x1 - x2 0, 于是 f(x1) -f(x2) 0, 即 f(x1) f(x2) 所以,f(x) =3x+2 在R上是增函数,1.函数的单调性 一般地,设函数f(x)的定义域为 I : 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数,例如函数y=x2,当x0,+时是增函数,当x(-,0)时是减函数.,课堂小结,2.单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.,3.用定义证明函数单调性的步骤 证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤: (1)取值:对任意x1,x2M,且x1x2; (2)作差:f(x1)-f(x2); (3)判定差的正负; (4)根据判定的结果作出相应的结论.,谢谢观看!,
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