利用导数判断函数的单调性,(4)对数函数的导数:,(5)指数函数的导数:,(3)三角函数 ：,一、复习回顾：基本初等函数的导数公式,导数运算法则,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),二、复习引入:,(1)函数的单调性也叫函数的增减性；,(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。,(3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。,以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.,1，),(，1,cosx,增,自主检测题,单调性与导数有什么关系？,精讲精析,.,观察函数y=x24x3的图象：,总结:该函数在区间 （，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变.,设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y 0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y 0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.,判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法,结论：,y 0,增函数,y 0,减函数,思考：,也就是说“f(x)0”是“yf(x)在某个区间上递增”的充分不必要条件,例1 确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.,解：f(x)=(x22x+4)=2x2.,令2x20，解得x1. 当x(1，+)时， f(x)0，f(x)是增函数.,令2x20，解得x1. 当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数,例题讲解,例2 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数.,解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x,令6x212x0，解得x2或x0,当x(，0)时，f(x)0， f(x)是增函数. 当x(2，+)时，f(x)0， f(x)是增函数.,令6x212x0，解得0x2. 当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数.,用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数 （2）求解不等式f (x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f (x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间,注：单调区间不以“并集”出现。,2、导数的应用：判断单调性、求单调区间,练习题,1函数y=3xx3的单调增区间是( ) (A) (0，+) (B) (，1) (C) (1，1) (D) (1，+),2设f(x)=x (x0)，则f(x)的单调增区间是( ) (A) (，2) (B) (2，0) (C) (， ) (D) ( ，0),例3如图，设有圆C和定点O，当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？,解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快， 图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定； 图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定； 图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定； 图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。,练习：如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象“平缓”.,通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)= 在(0，+)上是减函数.,例4 证明函数f(x)= 在(0，+)上是减函数.,证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2(0，+)设x1x2.,f(x1)f(x2)=,x10，x20，x1x20 x1x2，x2x10， 0,点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.,证法二：(用导数方法证),f(x)=( )=(1)x2= ，x0，,x20， 0. f(x)0，,f(x)= 在(0，+)上是减函数.,总结：,求函数yf(x)单调区间的步骤：,