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第13章 三角形中的边角关系、命题与证明,13.2 命题与证明,第4课时 三角形内角和定理的推论三 角形的外角性质,1,课堂讲解,三角形外角的定义 三角形外角的性质 三角形的外角和,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,1,知识点,三角形外角的定义,1三角形外角的定义:三角形的一边 与另一边的延长线组成的角如图 中的ACD的一边是ABC的边 AC,另一边是ABC的边BC的延长线 2易错警示:虽然三角形的外角在三角形外部,但不 应错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角,知1讲,(来自点拨),知1讲,导引:图中CEF的三边的延长线只有EF的延长 线FA,CE的延长线EB,延长线FA与边CF 构成的角为AFC;延长线EB与边EF构成 的角为BEF.由三角形外角的概念可以判 断AFC,BEF是CEF的外角,(来自点拨),例1 如图,CEF的外角为_,AFC,BEF,总 结,知1讲,(来自点拨),判定一个角是三角形的外角的三 个条件:一是顶点在三角形的一个顶点 上;二是一边是三角形的一条边;三是 一边是三角形的另一条边的延长线,如图,下列关于ABC的外角的说法正确的 是( ) AHBA是ABC的外角 BHBG是ABC的外角 CDCE是ABC的外角 DGBA是ABC的外角,知1练,(来自典中点),关于三角形的外角,下列说法中错误的是 ( ) A一个三角形只有三个外角 B三角形的每个内角处都有两个外角 C三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角 D一个三角形共有六个外角,知1练,(来自典中点),2,知识点,三角形外角的性质,知2导,交流 在图中,ABC的外角ACD与它不相邻 的内角A,B有怎样的关系?尝试给出 证明,并与同学交流.,知2讲,三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质): 1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 作用:(1)此性质反映了三角形的外角与不相邻内角 之间的数量关系,利用它可以求相关的角; (2)利用它可以证明一个角等于另两个角的和 或差; (3)利用它作为中间关系证明两个角相等 2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角; 作用:用来证明角的不等关系,(来自点拨),知2讲,例2 浙江温州如图,直线AB,CD被BC所截,若AB CD,145,235,则3_度,导引:根据平行线的性质求出C,根据三角形外角性质求出 即可 ABCD,145,C145, 235,32C354580.,(来自点拨),80,总 结,知2讲,(来自点拨),本题考查了平行线的性质,三 角形的外角性质的应用,解此题的 关键是求出C的度数和得出3 2C.,知2讲,(来自点拨),导引:要求CDF,则需求其余角2的度数2180 1ACB,其中1可利用三角形外角的性质求出, ACB为三角板内角已知如图,由三角形外角的性质, 知1EBCE304070,由三角形内角 和定理知21801ACB1807045 65,CDFEDF2906525.,例3 山东威海将一副直角三角板如图摆 放,点C在EF上,AC经过点D.已知A EDF90,E30,BCE 40,则CDF_.,25,总 结,知2讲,(来自点拨),本题是以三角板为背景考查三角形 外角的性质,是考试的一个热点;它主 要是利用了三角板位置变换过程中其内 角的度数不变的原理;解题时注意数形 结合思想的应用,能从实物中抽象出所 需的角是解题的关键,知2讲,(来自点拨),导引:要判断1与2的大小关系,而这两个角间没有直接关 系,则需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来,观 察题图知3能担当这种角色;用三角形外角的性质, 先判断3与2的大小关系,再判断1与3的大小关 系,然后用不等式的传递性判断1与2的大小关系,例4 如图,请确定1与2的大小关系,并说明为什么,解:12. 理由如下:1是ABC的一个外角, 13. 3是FGC的一个外角, 32.12.,总 结,知2讲,(来自点拨),“三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角”是证明有关角的不等关系的一 条重要定理,它常常结合不等式的性质(如本 例中不等式的传递性)来解决有关角的不等关 系;用它可判断与三角形有关的角的大小问 题本题通过3把属于两个三角形的1和 2联系在一起是关键,知2讲,例5 青海,改编下面是有关三角形内外角平分线的探究,阅读后 按要求作答: 探究1:如图,在ABC中,O是ABC与ACB的平分线BO 和CO的交点,通过分析发现:BOC90 A.(不要求证明) 探究2:如图,O是ABC与外角ACD的平分线BO 和CO的交 点,试分析BOC与A有怎样的数量关系?请说明理由 探究3:如图,O是外角DBC与外角ECB的平分线BO和CO 的交点,则BOC与A有怎样的数量关系?,图,图,图,知2讲,导引:探究2:如图,根据三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和,用A与1表示出2,再利用 BOC与1表示出2,然后整理即可得到BOC与 A的关系;探究3:根据三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出 OBC与OCB,然后再根据三角形的内角和定理列式 整理即可得解,解:探究2结论:BOC A. 理由如下:如图,BO和CO分别是 ABC和ACD的平分线, 1 ABC,2 ACD. 又ACD是ABC的一个外角,,知2讲,ACDAABC. 2 (AABC) A1. 2是BOC的一个外角, BOC21 A11 A. 探究3: OBC (AACB),OCB (AABC), BOC180OBCOCB180 (A ACB) (AABC)180 A (A ABCACB)180 A 18090 A. 结论:BOC90 A.,(来自点拨),总 结,知2讲,(来自点拨),本题中掌握三角形外角的性质是解题的 关键,题中的三个结论都与 A有关,可简 记为“内夹角:90 A,内外夹角: A,外夹角:90 A”记住这些结 论,可为解填空题、选择题带来很多方便,(中考桂林)如图,A50,C70, 则外角ABD的度数是( ) A110 B120 C130 D140 2 (中考柳州)图中1的大小等于( ) A40 B50 C60 D70,知2练,(来自典中点),3 如图,A,1,2的大小关系是( ) AA12 B21A CA21 D2A1,知2练,(来自典中点),(中考十堰)如图,ABCD,点E在线段BC 上,若140,230,则3的度 数是( ) A70 B60 C55 D50,知2练,(来自典中点),3,知识点,三角形的外角和,知3讲,例6 已知:如图,1,2,3是 ABC的三个外角. 求证:1 +2 +3 = 360.,证明:1=ABC+ACB,2= BAC+ACB, 3= BAC+ABC, (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) 1 +2 +3 = 2(ABC+ACB+BAC).(等式性质) ABC+ACB+BAC=180,(三角形内角和定理) 1 +2 +3 = 360.,(来自教材),归 纳,知3讲,(来自点拨),三角形的三个外角的和等于360.,知3讲,导引:A,B,C,D,E五个角不 在同一个三角形中,需要利用“三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和”转化到一个三角形中,例7 如图,在五角星ABCDE中,试说明 ABCDE180.,解:因为AGF是GCE的外角, 所以AGFCE. 同理AFGBD. 在AFG中,AAFGAGF180, 所以ABCDE180.,(来自点拨),总 结,知3讲,(来自点拨),(1)本例的说明过程,充分体现了化分散为集中的转 化思想,即把分散在不同三角形中的五个角运用 三角形外角的性质将其集中到同一个三角形中 去,再利用三角形内角和定理说明结论成立 (2)解答本例的关键是找基础三角形;这里的基础三 角形较多,解法也多样,请读者从不同角度去找 基础三角形,说明结论的正确性,知3练,(来自典中点),下列对三角形的外角和叙述正确的是 ( ) A三角形的外角和等于180 B三角形的外角和就是所有外角的和 C三角形的外角和等于所有外角和的一半 D以上都不对,知3练,(来自典中点),如图是四条互相不平行的直线l1,l2,l3,l4所 截出的七个角,关于这七个角的度数关系, 下列结论中正确的是( ) A247 B317 C146180 D235360,知3练,(来自典中点),3 如图,1234_度,1.三角形外角的定义 : 在上面证明三角形内角和定理时,曾 经如图那样把ABC的一边BC延长至 点D,得到ACD.像这样由三角形的一边与另一边的延 长线组成的角,叫做三角形的外角. 2.三角形外角的性质: (1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. (2) 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 3.三角形的外角和.,
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