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第1讲 集合、常用逻辑用语,考情分析,总纲目录,考点一 集合的概念及运算 集合的运算性质及重要结论 (1)AA=A,A=A,AB=BA. (2)AA=A,A=,AB=BA. (3)A(UA)=,A(UA)=U. (4)AB=AAB,AB=ABA.,典型例题 (1)(2017课标全国,1,5分)已知集合A=x|x0,则 ( ) A.AB= B.AB= C.AB= D.AB=R (2)(2017课标全国理,1,5分)已知集合A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|y=x, 则AB中元素的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 (3)(2017湖北四校联考)已知集合A=xN|x16,B=x|x2-5x+40,则A (RB)的真子集的个数为 ( ) A.1 B.3 C.4 D.7,答案 (1)A (2)B (3)B,解析 (1)由3-2x0得x ,则B= ,所以AB= ,故选A. (2)集合A表示单位圆上的所有的点,集合B表示直线y=x上的所有的点. AB表示直线与圆的公共点,显然,直线y=x经过圆x2+y2=1的圆心(0,0),故 共有两个公共点,即AB中元素的个数为2. (3)因为A=xN|x16=0,1,2,B=x|x2-5x+40=x|1x4,故RB= x|x1或x4,故A(RB)=0,1,故A(RB)的真子集的个数为3,故选 B.,方法归纳 1.集合运算中的常用方法 (1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解; (2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解; (3)若已知的集合是抽象集合,则用Venn图求解.,2.在写集合的子集时,易忽视空集;在应用AB=BAB=AAB时, 易忽略A=的情况.,跟踪集训 1.(2017天津,1,5分)设集合A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4,则(AB)C= ( ) A.2 B.1,2,4 C.1,2,4,6 D.1,2,3,4,6,答案 B 由题意知AB=1,2,4,6,(AB)C=1,2,4,故选B.,2.(2017湖南湘中名校联考)已知集合A=x|x2-11x-120,B=x|x=2(3n+1), nZ,则AB等于 ( ) A.2 B.2,8 C.4,10 D.2,8,10,答案 B 因为集合A=x|x2-11x-120=x|-1x12,集合B为被6整除 余数为2的数.又集合A中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,其中被6整除余 数为2的数有2和8,所以AB=2,8,故选B.,3.(2017河南洛阳模拟)已知全集U=R,集合A=x|x2-3x-40,B=x|-2x 2,则如图所示的阴影部分所表示的集合为 ( ) A.x|-2x4 B.x|x2或x4 C.x|-2x-1 D.x|-1x2,答案 D 题图中阴影部分所表示的集合为(RA)B.依题意得A=x| x4,因此RA=x|-1x4,所以(RA)B=x|-1x2,选D.,考点二 命题的真假判断与否定 1.四种命题的关系 (1)若两个命题互为逆否命题,则它们同真同假. (2)若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们的真假没有关系.,2.全(特)称命题及其否定 (1)全称命题p:xM,p(x),它的否定为p:x0M,p(x0). (2)特称命题p:x0M,p(x0),它的否定为p:xM,p(x).,3.复合命题的真假判断 命题pq,只要p,q有一真,即为真;命题pq,只有p,q均为真,才为真;p和 p的真假相反.,典型例题 (1)(2017河南郑州质量检测(一)命题“x0R, - x0 - 1 0”的否定 是 ( ) A.xR,x2-x-10 B.x0R, -x0 - 10 C.xR,x2-x-10 D.x0R, -x0 -1 0 (2)(2017山东,5,5分)已知命题p:xR,x2-x+10;命题q:若a2bc,则a+bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 .,答案 (1)A (2)B (3)-1,-2,-3,解析 (1)命题“x0R, -x0 - 10”的否定是“xR,x2-x-10”. (2)p:x2-x+1= + 0恒成立, xR,x2-x+10成立.故命题p为真. q:a2bc,但不满足a+bc.,方法归纳 1.命题真假的判断方法 (1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别. (2)四种命题真假的判断:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其 他两个命题的真假无此规律. (3)形如pq,pq,p命题的真假根据p,q的真假与逻辑联结词的含义判 断.,2.全称命题与特称命题真假的判断 (1)全称命题:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每 一个元素x验证p(x)成立,要判断其为假命题时,只需举出一个反例即可. (2)特称命题:要判断一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中至少 能找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题是假命题.,3.“否命题”是对原命题“若p,则q”既否定其条件,又否定其结论;而 “命题p的否定”即p,只是否定命题p的结论.,跟踪集训 1.(2017安徽合肥第二次教学质量检测)已知命题q:xR,x20,则 ( ) A.命题q:xR,x20为假命题 B.命题q:xR,x20为真命题 C.命题q:x0R, 0为假命题 D.命题q:x0R, 0为真命题,答案 D 由题意知q:x0R, 0,为真命题,故选D.,2.(2017山西八校联考)已知命题p:存在nR,使得f(x)=n 是幂函数, 且在(0,+)上单调递增;命题q:“x0R, +23x0”的否定是“x R,x2+23x”.则下列命题为真命题的是 ( ) A.pq B.(p)q C.p(q) D.(p)(q),答案 C 当n=1时, f(x)=x3,为幂函数,且在(0,+)上单调递增,故p是 真命题,则p是假命题;“x0R, +23x0”的否定是“xR,x2+2 3x”,故q是假命题,q是真命题.所以pq,(p)q,(p)(q)均为假命 题,p(q)是真命题,选C.,考点三 充分、必要条件的判断 1.若pq,则p是q的充分条件;,2.若qp,则p是q的必要条件;,3.若pq且qp,则p是q的充要条件;,4.若pq且q / p,则p是q的充分不必要条件;,5.若p /q且qp,则p是q的必要不充分条件;,6.若p /q且q /p,则p是q的既不充分也不必要条件.,典型例题 (1)(2017天津,2,5分)设xR,则“2-x0”是“|x-1|1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2017北京,7,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是 “mn0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 (1)B (2)A 解析 (1)由2-x0,得x2;由|x-1|1,得-1x-11,即0x2,因为0, 2(-,2,所以“2-x0”是“|x-1|1”的必要而不充分条件,故选B. (2)由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180,则mn= -|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夹角为钝角或180,故必要性不 成立.故选A.,方法归纳 判断充分、必要条件的方法 (1)定义法. (2)集合法. (3)等价法.,跟踪集训 1.(2017安徽百所重点中学二模)“a3b3”是“ln aln b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 B 由a3b3可得ab,当a ln b可得ab,故a3b3.因此“a3b3”是“ln aln b”的必要不充分条件.,2.(2017福建八校适应性考试)已知函数f(x)=3ln(x+ )+a(7x+7-x),则 “a=0”是“函数f(x)是奇函数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 由题意知f(x)的定义域为R,易知y=ln(x+ )是奇函数,y= 7x+7-x是偶函数.当a=0时, f(x)=3ln(x+ )为奇函数,充分性成立;当f(x) 为奇函数时,a=0,必要性成立.因此“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充 要条件,故选C.,1.(2017课标全国,1,5分)已知集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,则AB中 元素的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,随堂检测,答案 B 因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以AB=2,4,所以A B中元素的个数为2.,2.(2017课标全国理,2,5分)设集合A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若AB =1,则B= ( ) A.1,-3 B.1,0 C.1,3 D.1,5,答案 C AB=1, 1B, 1-4+m=0,m=3. 由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3. B=1,3. 经检验符合题意.故选C.,3.(2017山西八校第一次联考)已知集合A=x|(x-3)(x+1)0,B=x|0x 4,则AB= ( ) A.-1,4 B.(0,3 C.(-1,0(1,4 D.-1,0(1,4,答案 A A=x|(x-3)(x+1)0=x|-1x3,故AB=-1,4,选A.,4.(2017贵州贵阳检测)设向量a=(1,x-1),b=(x+1,3),则“x=2”是“ab” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A ab的充要条件是13=(x-1)(x+1),解得x=2.因此“x=2” 是“ab”的充分不必要条件,选A.,5.(2017山西重点中学五月联考)已知命题p:对任意x(0,+),log2x log4x,命题q:存在x0R,使得tan x0=1-x0,则下列命题为真命题的是 ( ) A.pq B.(p)(q) C.p(q) D.(p)q,答案 D 易知命题p是假命题,命题q是真命题,故p是真命题,因此 (p)q是真命题,故选D.,
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