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第3讲 不等式,考情分析,总纲目录,考点一 不等式的解法及应用 1.一元二次不等式的解法 把一元二次不等式先化为一般形式ax2+bx+c0(a0),再求相应一元二 次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置 关系,确定一元二次不等式的解集.,2.简单分式不等式的解法 (1) 0(0(0); (2) 0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.,3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式,可利用函数的单调性求 解.,典型例题 (1)若函数f(x)= 则f(x)2的解集为 ( ) A.(-,04,+) B.(-,-10,+) C.(-,-1)(4,+) D.(-,-14,+) (2)已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范 围是 .,答案 (1)D (2)(-1,3) 解析 (1)当x1时, 由 2= ,得x-1; 当x1时, 由log2x2=log24,得x4. 故不等式f(x)2的解集为(-,-14,+). (2)f(2)=0, f(x-1)0,f(x-1)f(2), 又f(x)是偶函数, f(|x-1|)f(2),又f(x)在0,+)上单调递减, |x-1|2,-2x-12, -1x3,x(-1,3).,不等式的求解技巧 (1)对于与函数有关的不等式,可先利用函数的单调性进行转化;(2)求解 一元二次不等式的步骤:第一步,二次项系数化为正数;第二步,解对应的 一元二次方程;第三步,若有两个不相等的实根,则利用“大于在两边,小 于夹中间”得不等式的解集;(3)含参数的不等式的求解,要对参数进行 分类讨论.,方法归纳,跟踪集训 1.设函数f(x)= 若f(x0)2,则x0的取值范围是 ( ) A.(-,-1)(2,+) B.(-,-1) C.(-,-1) D.(-,-1)2,+),答案 B 不等式f(x0)2可化为 或 解得x0 或x0-1,故选B.,2.(2017安徽合肥模拟)设函数f(x)= ,则使f(a)+1f(a+1)成立的a的取 值范围是 ( ) A.(-,-2) B.(-1,+) C.(-,-2)(-1,+) D.(-,-1),答案 C f(a)+1f(a+1) +1 + 0 0. a2+3a+40对一切aR恒成立, 原不等式等价于(a+1)(a+2)0, a-1, 故所求a的取值范围是(-,-2)(-1,+).,考点二 基本不等式及其应用 1.三个重要不等式 (1)a,bR+,a+b2 ,当且仅当a=b时取等号. (2)a,bR,a2+b22ab,当且仅当a=b时取等号. (3)a,bR,ab ,当且仅当a=b时取等号.,2.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则 (1)如果x0,y0,xy=p(定值),当x=y时,x+y有最小值2 .(简记:积定,和有 最小值) (2)如果x0,y0,x+y=s(定值),当x=y时,xy有最大值 s2.(简记:和定,积有最 大值),典型例题 (1)(2017山东,12,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的 最小值为 . (2)(2017天津,13,5分)若a,bR,ab0,则 的最小值为 .,答案 8 4 解析 (1)由题设可得 + =1,a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +24+2 =8 . 故2a+b的最小值为8. (2)a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立), =4ab+ , 由于ab0,4ab+ 2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 , 故当且仅当 时, 的最小值为4.,利用基本不等式求最值应注意的问题 (1)利用基本不等式必须注意“一正二定三相等”的原则. (2)基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据已知条件和 基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即把研究对象化成适用基本不 等式的形式,常见的转化方法有: x+ =x-a+ +a(xa); 若 + =1,则mx+ny=(mx+ny)1=(mx+ny) =ma+nb+ + ma+nb+2 (字母均为正数). (3)两次连用基本不等式,要注意等号取得条件的一致性.,方法归纳,跟踪集训 1.若a,b都是正数,则 的最小值为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10,答案 C a,b都是正数, =5+ + 5+2 =9, 当且仅当b=2a0时取等号.故选C.,2.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是 .,答案 3,解析 由题意得,y= (0x ), 2x+y=2x+ = = 3,当且仅当x=y=1时,等号成立.,考点三 简单的线性规划问题(高频考点) 命题点,1.求可行域的面积.,2.求目标函数的最值.,3.由最优解情况或可行域情况确定参数的值(范围).,1.平面区域的确定方法 平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”,二元一次不等式组 所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集.,2.线性目标函数z=ax+by最值的确定方法 线性目标函数z=ax+by中的z不是直线ax+by=z在y轴上的截距,把目标函 数化为y=- x+ 可得 是直线ax+by=z在y轴上的截距,要根据b的符号确 定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.,典型例题 (1)(2017课标全国,5,5分)设x,y满足约束条件 则z=x- y的取值范围是 ( ) A.-3,0 B.-3,2 C.0,2 D.0,3 (2)(2017湖北四校第一次联考)若变量x,y满足约束条件 则z =(x-1)2+y2的最大值为 ( ) A.4 B. C.17 D.16,(3)(2017江西五市部分学校第三次联考)已知实数x,y满足不等式组 若点P(2a+b,3a-b)在该不等式组所表示的平面区域内,则 的取值范围是 ( ) A.-12,-7 B. C. D.-12,-2,解析 (1)由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0). 由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,zmin=0-3= -3,zmax=2-0=2,故z=x-y的取值范围是-3,2.故选B. (2)z=(x-1)2+y2表示平面区域内的点(x,y)与点P(1,0)间距离的平方.画出约,答案 (1)B (2)C (3)C,束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知P(1,0)与A(2,4)间 的距离最大,因此zmax=(2-1)2+42=17. (3)因为点P(2a+b,3a-b)在不等式组 所表示的平面区域内,所以 即 其表示的平面区域是以A ,B ,C 为顶点的三角形区域(包括边界). 可看作是可行域内的点 与点M(1,-2)连线的斜率,所以kMB kMC,即-12 - .,解决线性规划应注意的问题 (1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,找到目标函 数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确, 整点问题要验证解决. (2)画可行域时应注意区域是否包含边界. (3)对目标函数z=Ax+By中B的符号,一定要注意B的正负与z的最值的对 应,要结合图形分析.,方法归纳,跟踪集训 1.(2017课标全国,7,5分)设x,y满足约束条件 则z=x+y的最大 值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 D 作出约束条件表示的可行域如图: 平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,zmax =3,故选 D.,2.(2017广东惠州第三次调研)已知x,y满足约束条件 若z=ax+y 的最大值为4,则a= ( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3,答案 B 作出可行域如图. 当a1 时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,zmax=2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.,1.已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)0的解集是(-,-1) ,则a= ( ) A.2 B.-2 C.- D.,随堂检测,答案 B 根据一元二次不等式与其对应方程的关系知-1,- 是一元 二次方程ax2+(a-1)x-1=0的两个根,所以-1 = - ,所以a=-2,故选B.,2.(2017山东理,7,5分)若ab0,且ab=1,则下列不等式成立的是 ( ) A.a+ log2(a+b) B. log2(a+b)a+ C.a+ log2(a+b) D.log2(a+b)a+ ,答案 B 特值法:令a=2,b= ,可排除A,C,D.故选B.,3.已知a0,b0,若不等式 - - 0恒成立,则m的最大值为 ( ) A.4 B.16 C.9 D.3,答案 B a0,b0,由 - - 0恒成立得m (3a+b)= 10+ + 恒成立. + 2 =6,当且仅当a=b时等号成立,故1 0+ + 16,m16,即m的最大值为16.故选B.,4.(2017课标全国,7,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+y的 最小值是 ( ) A.-15 B.-9 C.1 D.9,答案 A 根据线性约束条件画出可行域,如图. 作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值. 由,得点A的坐标为(-6,-3). zmin=2(-6)+(-3)=-15.故选A.,
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