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深入理解课文,了解孙中山,了解“布衣”与总统的关系,了解布衣总统的来历及其布衣特色的体现,体会甘于淡泊精神对当代青年的教育意义。专题21 不等式选讲 预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主,解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流,并配以不等式的证明和函数图象的考查. 一、含有绝对值不等式的解法1.|axb|c,|axb|c(c0)型不等式的解法 (1)若c0,则|axb|c等价于caxbc,|axb|c等价于axbc或axbc,然后根据a,b的值解出即可. (2)若c0),|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解. (1)零点分区间法的一般步骤 令每个绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根; 将这些根按从小到大排列,把实数集分为若干个区间; 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集; 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集. (2)利用绝对值的几何意义 由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|xa|xb|0)或|xa|xb|c(c0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观. 3.|f(x)|g(x),|f(x)|0)型不等式的解法 (1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x). (2)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x). 知识点二 不等式的证明 1.证明不等式的常用结论 (1)绝对值的三角不等式 定理1:若a,b为实数,则|ab|a|b|,当且仅当ab0,等号成立. 定理2:设a,b,c为实数,则|ac|ab|bc|,当且仅当(ab)(bc)0时,等号成立. 推论1:|a|b|ab|. 推论2:|a|b|ab|. (2)三个正数的算术几何平均不等式:如果a,b,cR,那么,当且仅当abc时等号成立.(3)基本不等式(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均值不小于它们的几何平均值,即,并且仅当a1a2an时等号成立.(4)一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,并且仅当bi0(i1,2,n)或存在一个数k,使得aikbi(i1,2,n)时,等号成立.2.证明不等式的常用方法 (1)比较法 一般步骤:作差变形判断结论.为了判断作差后的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以判断其正负. (2)综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法. (3)分析法 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法. (4)反证法和放缩法 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫作反证法. 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法叫作放缩法. 考点一 解绝对值不等式例1【2017课标1,理】已知函数f(x)=x2+ax+4,g(x)=x+1+x1.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1,求a的取值范围.【答案】(1);(2). (2)当时, .所以的解集包含,等价于当时.又在的最小值必为与之一,所以且,得.所以的取值范围为.【变式探究】【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分),选修45:不等式选讲已知函数.(I)在答题卡第(24)题图中画出的图像;(II)求不等式的解集 【答案】(I)见解析(II)【解析】如图所示: (2015重庆,16)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5,则实数a_.解析 由绝对值的性质知f(x)的最小值在x1或xa时取得,若f(1)2|1a|5,a或a,经检验均不合适;若f(a)5,则|x1|5,a4或a6,经检验合题意,因此a4或a6.答案 4或6【变式探究】不等式|x1|x2|5的解集为_ 考点二 不等式的证明例2【2017课标II,理23】已知。证明:(1);(2)。【答案】(1)证明略;(2)证明略。【解析】(1) (2)因为 所以,因此a+b2.【变式探究】【2016高考新课标2理数】选修45:不等式选讲已知函数,为不等式的解集()求;()证明:当时,【答案】();()详见解析. 【变式探究】(2015新课标全国,24)设a、b、c、d均为正数,且abcd,证明:(1)若abcd,则;(2)是|ab|cd|的充要条件证明 (1)因为()2ab2,()2cd2,由题设abcd,abcd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|,则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd,所以abcd.由(1)得.若,则()2()2,即ab2cd2.因为abcd,所以abcd,于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上,是|ab|cd|的充要条件【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数设集合M0,1,2,q1,集合Ax|xx1x2qxnqn1,xiM,i1,2,n(1)当q2,n3时,用列举法表示集合A;(2)设s,tA,sa1a2qanqn1,tb1b2qbnqn1,其中ai,biM,i1,2,n.证明:若anbn,则s0.(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围解 (1)当a1时,f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时,不等式化为x40,无解;当1x0,解得x0,解得1x1的解集为. 1.【2014高考安徽卷理第9题】若函数的最小值为3,则实数的值为( )A.5或8 B.或5 C.或 D.或8【答案】D【解析】由题意,当时,即,则当时,解得或(舍);当时,即,则当时,解得(舍)或;当时,即,此时,不满足题意,所以或,故选D.2. 【2014陕西高考理第15题】设,且,则的最小值为 【答案】【解析】由柯西不等式得:,所以,得所以,故答案为。3. 【2014高考广东卷理第9题】不等式的解集为 .【答案】. 4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为,则_.【答案】-3 【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,即,故填.5. 【2014江西高考理第11题】对任意,的最小值为( ) A. B. C. D.【答案】C 6. 【2014重庆高考理第16题】若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】令,其图象如下所示(图中的实线部分) 由图可知:由题意得:,解这得:所以答案应填:7. 【2014高考福建理第21(3)题】已知定义在R上的函数的最小值为. (I)求的值; (II)若为正实数,且,求证:.【答案】(I);(II)参考解析 8. 【2014高考江苏第21题】已知,证明 【答案】证明见解析.【解析】,,.9. 【2014高考江苏第21B题】已知矩阵,向量,是实数,若,求的值.【答案】【解析】由题意得,解得.10. 【2014高考辽宁理第24题】设函数,记的解集为M,的解集为N.()求M;()当时,证明:.【答案】(1);(2)详见解析. (2)由得解得,因此,故.当时
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