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第3章 随机变量的特征,3.1 期望值:集中趋势的度量,3.2 方差:离散程度的度量,3.3 协方差,3.4 相关系数,3.5 条件期望值,3.6 偏度和峰度,3.7 从总体到样本,3.8 总结,3.1 期望值:集中趋势的度量,期望值(expected value ):集中趋势的度量,离散型随机变量的期望值用符号E(X)表示。 定义为:,LY:从等概率的离散型引入数学期望和方差的概念! 例3-1 掷一个骰子若干次。随机变量X表示正面朝上的数字,求X的期望值。(下表),表3-1 随机变量(正面朝上数字)的期望值,正面朝上的数字 概率 数字*概率 X f(x) xf(x),1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/6 E(X) = 1/6+.+6/6 =3.5,1.若b为常数,则有: E(b)= b,2.给定随机变量X和Y,有 E(X+Y)=E(X)+E(Y),3.,4.,5.若a为常数,则有:,6.若a、b为常数,那么:,3.1.1 期望的性质,3.2 方差(variance):离散程度的度量,方差定义为: 表明了随机变量X的各取值与其期望值的偏离程度。 如图3-2。,若X为离散型随机变量,通常用下列公式计算方差,标准差(standard deviation, s.d):方差的正的方根。,3-2,例3-4: 接例3-1,求随机变量X(表示正面朝上的数字)的方差。,正面朝上的数字 概率 X f(x) (x-(EX)2*f(x),1 1/6 (1-3.5)2(1/6) 2 1/6 (2-3.5)2(1/6) 3 1/6 (3-3.5)2(1/6) 4 1/6 (4-3.5)2(1/6) 5 1/6 (5-3.5)2(1/6) 6 1/6 (6-3.5)2(1/6) 总计2.9167 VAR(X) = 2.9167,1. 常数的方差为零。 2. 若X与Y 是两个相互独立的随机变量,那么: var(X+Y)=var(X)+var(Y) var(X-Y)=var(X)+var(Y) 3. 若b是常数,则 var(X+b)=var(X),4. 如果a是常数,则,5. 如果a,b是常数,则,6. 如果X与Y相互独立,a,b是常数,则,3.2.1 方差的性质:,3.2.3 变异系数,变异系数(coefficient of variation,V)度量相对变动,定义为:,例3-6:某讲师讲授两个班的初级经济计量学课程,每班各15名学生。在期中考试中,A班平均83分,标准差为10,B班平均88分,标准差为16。哪个班的成绩更好?,由于A班的相对变动小,所以说A班成绩的总体情况好于B班。,3.3 协方差(covariance) 令随机变量X和Y的期望分别为 其协方差为:,对于连续型随机变量可用积分符号代替求和符号。,例3-7:(by students) 再次回到个人电脑/打印机销售一例,现利用协方差的计算公式计算电脑销售量X和打印机销售量Y的协方差。,已知:,相关系数定义如下,3.4.1 相关系数的性质,3.4 相关系数 (correlation),1. 相关系数与协方差同号 2. 相关系数度量了两变量间的线性关系 3. 相关系数是一个纯数值,且满足:,4. 如果两变量独立,则协方差、相关系数都为0,但如果两变量的相关系数为0,并不意味着这两个变量相互独立。 5. 相关并不一定意味着存在因果关系。,例3-8 继续个人电脑/打印机一例,现计算两变量的相关系数。 已知两个变量的协方差为0.95,根据表2-4中的数据可以得到,即两变量存在一定的正相关关系,这也是很容易理解的。,3.4.2 相关变量的方差,特别地:,3.5 条件期望值(conditional expectation),例3-9:在个人电脑/打印机一例中,计算E(Y|X=2),即在每天售出2台个人电脑的条件下销售打印机的条件期望。,3.6 偏度(skewness)与峰度(kurtosis) 偏度与峰度是用于描述概率密度函数形状的数字特征。偏度S是对称性的度量,峰度K是一个概率密度函数高低或胖瘦的度量。,偏度大于0,称其为正偏或右偏,偏度小于0为负偏或左偏。可以计算得到正态分布的S0,K3。,3.7 从总体到样本,如果我们想考察我国20岁女性的身高情况,我们知道,若设其为X,这是一个随机变量。描述该随机变量,可以用概率密度函数或用期望、方差等数字特征。但这些都是未知的。 现在,我们可以把我国所有20岁女性身高值构成的集合看成是一个总体,我们来考察这一总体的情况。 考察方法之一是从总体中抽取一个样本,通过样本的特征来反映总体的情况。 所以我们必须知道样本矩(sample moments)的计算方法。,1. 样本均值,2. 样本方差,3. 样本协方差,4. 样本相关系数,从总体中抽取的样本设为:,5. 样本偏度与样本峰度 对照下公式 总体偏度S 总体峰度K 样本三阶矩与样本四阶矩为:,作业: 第3章书后习题:3.5、3.7、3.13,
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