第一部分 专题五 第一讲A组1如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD11，ABBCAA12，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是( C )解析由直观图和俯视图知，正视图中点D1的射影是B1，所以正视图是选项C中的图形，A中少了虚线，故不正确2如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( C )A20B24C28D32解析该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r2，底面圆的周长c2r4，圆锥的母线长l4，圆柱的高h4，所以该几何体的表面积S表r2chcl416828，故选C3(文)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )A12 B122 C6 D4解析由三视图知，该几何体是一个组合体，由一个长方体挖去一个圆柱构成，长方体的长、宽高为4,3,1，圆柱底半径1，高为1，体积V43112112.(理)若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于( B )A10 cm3 B20 cm3C30 cm3 D40 cm3解析由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABCA1B1C1沿平面AB1C1截去一个三棱锥AA1B1C1余下的部分VABCC1B1VABCA1B1C1VAA1B1C1435(43)520cm3.4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( B )A182 B20C20 D16解析由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S45221120.故选B5(2018双鸭山一模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( A )A BC4 D2解析由已知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径RPD.则这个几何体的外接球的表面积为S4R24()2.6如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为.解析利用三棱锥的体积公式直接求解VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.7已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC2AB2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF平面EFDC，则三棱锥AFEC外接球的体积为.解析如图，平面ABEF平面EFDC，AFEF，所以AF平面ECDF，将三棱锥AFEC补成正方体ABCDFECD依题意，其棱长为1，外接球的半径R，所以外接球的体积VR3()3.8(文)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积解析(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B因为CACB，所以OCAB由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB因为OCOA1O，所以AB平面OA1C又A1C平面OA1C，故ABA1C(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1.又A1C，则A1C2OC2OA，故OA1OC因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC.故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.(理)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积解析(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.B组1(文)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( D )A60 B30 C20 D10解析由三视图画出如图所示的三棱锥PACD，过点P作PB平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD5，CD3，PB4，所以V三棱锥PACD35410.故选D(理)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( B )A3 B2 C2 D2解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱由三视图可知正方体的棱长为2，故SD2.故选B2(2018宜宾一模)三棱锥ABCD内接于半径为2的球O，BC过球心O，当三棱锥ABCD体积取得最大值时，三棱锥ABCD的表面积为( D )A64 B82C46 D84解析由题意，BC为直径，BCD的最大面积为424，三棱锥ABCD体积最大时，AO平面BCD，三棱锥的高为2，所以三棱锥ABCD的表面积为422284.3三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( C )A B4 C8 D20解析由题意得，此三棱锥外接球即为以ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为ABC的外接圆半径r1，外接球球心到ABC的外接圆圆心的距离d1，所以外接球的半径R，所以三棱锥外接球的表面积S4R28，故选C4某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( B )A2 B2 C4 D2解析如图，四面体的直观图是棱长为2的正方体ABCDMNPQ中的三棱锥QBCN，且QB2，NCQNQC2，四面体QBCN各面的面积分别为SQBNSQBC222，SBCN222，SQCN(2)22，面积最大为2.5三棱锥SABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为( B )A2 B4 C D16解析由已知中的三视图可得SC平面ABC，且底面ABC为等腰三角形，在ABC中AC4，AC边上的高为2，故BC4，在RtSBC中，由SC4，可得SB4.6设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等且，则的值是.解析设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，又，则()2.7已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的体积取最大值时，其外接球的体积为.解析当平面DAC平面ABC时，三棱锥DABC的体积取最大值此时易知BC平面DAC，BCAD，又ADDC，AD平面BCD，ADBD，取AB的中点O，易得OAOBOCOD1，故O为所求外接球的球心，故半径r1，体积Vr3.8(文)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥E_ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解析(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为. 故三棱锥EACD的侧面积为32.(理)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分别是CE和CF的中点(1)求证：AC平面BDEF；(2)求证：平面BDGH/平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积解析(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD又因为平面BDEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，且AC平面ABCD，所以AC平面BDEF.(2)证明：在CEF中，因为G、H分别是CE、CF的中点，所以GHEF，又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.设ACBDO，连接OH，在ACF中，因为OAOC，CHHF，所以OHAF，又因为OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH平面AEF.又因为OHGHH，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(3)解：由(1)，得AC平面BDEF，又因为AO，四边形BDEF的面积SBDEF326，所以四棱锥ABDEF的体积V1AOSBDEF4.同理，四棱锥CBDEF的体积V24.所以多面体ABCDEF的体积VV1V28.