2.2.1 函数的单调性(一),第2章 2.2 函数的简单性质,学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,函数f(x)x的图象由左到右是上升的；函数f(x)x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.,思考,知识点一 函数的单调性,画出函数f(x)x、f(x)x2的图象，并指出f(x)x、f(x)x2的图象的升降情况如何？,答案 两函数的图象如下：,答案,一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为单调增函数，该区间称为单调增区间.反之则为单调减函数，相应区间称为单调减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数yf(x)的定义域为A，区间IA.,梳理,(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间. 单调增区间和单调减区间统称为单调区间.,思考,知识点二 函数的单调区间,我们已经知道f(x)x2的单调减区间为(，0，f(x) 的单调减区间为(，0)，这两个单调减区间的书写形式能不能交换？,答案,答案 f(x)x2的单调减区间可以写成(，0)，而f(x) 的单调减区间(，0)不能写成(，0，因为0不属于f(x) 的定义域.,梳理,一般地，有下列常识 (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.,题型探究,例1 如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？,类型一 求单调区间并判断单调性,解 yf(x)的单调区间有5，2，2,1，1,3，3,5，其中yf(x)在区间5，2，1,3上是单调减函数，在区间2,1，3,5上是单调增函数.,解答,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有.,反思与感悟,所以y|x22x3|的单调区间有(，1，1,1，1,3，3，)，其中单调减区间是(，1，1,3；单调增区间是1,1，3，).,跟踪训练1 写出函数y|x22x3|的单调区间，并指出单调性.,解答,命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f(x) 在其定义域上是单调增函数.,类型二 证明单调性,证明,设x1，x2是定义域0，)上的任意两个实数，且x1x2，,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，,运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值作差变形定号小结.,反思与感悟,跟踪训练2 求证：函数f(x)x 在1，)上是单调增函数.,证明,证明 设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1x1x2，,1x1x2，x1x20,1x1x2，,即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).,命题角度2 证明抽象函数的单调性 例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)1，且当x0时，f(x)1.求证：函数f(x)在R上是单调增函数.,证明,证明 方法一 设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1x2.令xyx1，yx2，则xx1x20. f(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1. x0，f(x)1，f(x)10， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2). 函数f(x)在R上是单调增函数. 方法二 设x1x2，则x1x20， 从而f(x1x2)1，即f(x1x2)10. f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2)，故f(x)在R上是单调增函数.,因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.,反思与感悟,跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1.求证：f(x)在R上是单调减函数.,证明,证明 对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，令m1，n0，可得f(1)f(1)f(0)， 当x0时，0f(x)1，f(1)0，f(0)1. 令mx0，nx0，则f(mn)f(0)f(x)f(x)1，f(x)f(x)1，,对任意实数x，f(x)恒大于0. 设任意x10， 0f(x2x1)1，,f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10， f(x)在R上是单调减函数.,命题角度1 利用单调性求参数范围,类型三 单调性的应用,则a的取值范围为_.,答案,解析,分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.,反思与感悟,跟踪训练4 已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，则实数a的取值范围为_.,解析 由于二次函数开口向上，故其单调增区间为a，)，单调减区间为(，a，而f(x)在区间1,2上单调，所以1,2a，)或1,2(，a，即a1或a2.,(，12，),答案,解析,命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知yf(x)在定义域(1,1)上是单调减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围.,解答,若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.,反思与感悟,跟踪训练5 在例5中若函数yf(x)的定义域为R，且为单调增函数，f(1a)f(2a1)，则a的取值范围又是什么？,解答,解 yf(x)的定义域为R，且为单调增函数， f(1a)f(2a1)，1a2a1，,当堂训练,1.函数yf(x)在区间2,2上的图象如图所示，则此函数的单调增区间是_.,答案,2,3,4,5,1,2,1,答案,2,3,4,5,1,(，0)，(0，),3.在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)的是_.(填序号) f(x)x2； f(x) ； f(x)|x|； f(x)2x1.,答案,2,3,4,5,1,4.给出下列说法： 若定义在R上的函数f(x)满足f(3)f(2)，则函数f(x)在R上为单调增函数； 若定义在R上的函数f(x)满足f(3)f(2)，则函数f(x)在R上不可能为单调减函数；,2,3,4,5,1,其中说法正确的是_.(填序号),答案,解析,2,3,4,5,1,解析 由单调增函数的定义，可知错误； 由单调减函数的定义，可知正确；,5.若函数f(x)在R上是单调减函数，且f(|x|)f(1)，则x的取值范围是_.,答案,2,3,4,5,1,(1,1),规律与方法,1.若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都为单调减函数，未必有f(x)在AB上为单调减函数. 2.对单调增函数的判断，对任意x10或 0.对单调减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1x2)f(x1)f(x2)0或 0.,3.熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等. 4.若f(x)，g(x)都是单调增函数，h(x)是单调减函数，则：在定义域的交集(非空)上，f(x)g(x)为单调增函数，f(x)h(x)为单调增函数，f(x)为单调减函数， 为单调减函数(f(x)0). 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商 与1比较.,本课结束,