章末复习课,第二章 函 数,学习目标 1.构建知识网络，理解其内在联系. 2.盘点重要技能，提炼操作要点. 3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.知识网络,2.重要技能 (1)运算技能主要表现在求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等. (2)图形处理技能包括识图能力和作图能力.识图主要体现在给出函数图象，要能从中读出相关信息，能根据函数解析式或性质，画出相应图象. (3)推理技能主要体现在给出函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的函数问题.,课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等. (4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律. (5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作.,3.数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法： (1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题. (2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域. (3)分类讨论在函数中，主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨. (4)数形结合主要体现在借助函数图象研究函数性质.,题型探究,命题角度1 函数三要素 例1 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次. (1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；,解答,类型一 函数概念及性质,解 设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设ykxb(k0)， 当x4时，y16，当x7时，y10，得到164kb,107kb， 解得k2，b24， y2x24.,解得定义域为xN|0x12.,(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数.,解答,解 设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则Sxyx(2x24)2x224x2(x6)272，x0,12且xN.所以当x6时，Smax72，此时y12，则每日最多运营人数为110727 920. 故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.,建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束.,反思与感悟,跟踪训练1 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径ABCM在正方形边上运动所经过的路程为x，APM的面积为y.,解答,(1)求yf(x)的解析式及定义域；,解 根据题意得,(2)求APM面积的最大值及此时点P位置,解答,解,命题角度2 函数的性质及应用 例2 已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1) (1)求证：f(x)在R上是减函数；,证明,证明 由f(x)f(y)f(xy)可得f(xy)f(x)f(y). 在R上任取x1x2，令xyx1，xx2， 则f(x1)f(x2)f(x1x2). x1x2，x1x20. 又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)0. 由定义可知f(x)在R上是减函数.,(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值；,解答,解 f(x)在R上是减函数； f(x)在3,3上也是减函数； f(3)最大，f(3)最小.,f(3)f(43)f(4)f(1)f(3)f(1)f(3)2. 即f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.,(3)解不等式f(x)f(x)2.,解答,解 由(2)知f(3)2， f(x)f(x)2即f(x)f(x)2f(x)f(3)f(3x)， 由(1)知f(x)在R上为减函数， f(x)f(3x)x3x，,(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值. (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用.,反思与感悟,跟踪训练2 函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2). (1)求f(1)的值；,解答,解 对于任意x1，x2D， 有f(x1x2)f(x1)f(x2)， 令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.,解 f(x)为偶函数. 证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)， f(1) f(1)0. 令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)，f(x)为偶函数.,(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；,解答,(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围.,解答,解 依题设有f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知，f(x)是偶函数， f(x1)2f(|x1|)f(16). 又f(x)在(0，)上是增函数. 0|x1|16，解之得15x17且x1. x的取值范围是x|15x17且x1.,例3 对于函数f(x)x22|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；,类型二 函数图象的画法及应用,解答,解 函数的定义域为R，关于原点对称， f(x)(x)22|x|x22|x|. 则f(x)f(x)，f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称.,(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.,解答,画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是1，无最大值. 单调增区间是1,0，1，)；单调减区间是(，1，0,1.,画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果.,反思与感悟,跟踪训练3 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)f(2x)，当x0,1时，f(x)x.求x3,5时，f(x) 的所有解的和.,解答,解 当x1,0时，x0,1，f(x)x. 又f(x)为奇函数，x1,0时，f(x)f(x)x. 即x1,1时，f(x)x. 又由f(x)f(2x)可得f(x)的图象关于直线x1对称. 由此可得f(x)在3,5上的图象如下：,由图可知在3,5上共有四个交点，,从左到右记为x1，x2，x3，x4， 则x1与x4，x2与x3关于直线x1对称，,x1x2x3x44.,例4 已知g(x)x23，f(x)是二次函数，当x1,2时，f(x)的最小值是1，且g(x)f(x)是奇函数，求f(x)的表达式.,类型三 二次函数的图象及性质,解答,解 设f(x)ax2bxc(a0)， 则g(x)f(x)(a1)x2bxc3为奇函数， 故有(a1)x2bxc3(a1)x2bxc3， (a1)x2bxc3(a1)x2bx(c3).,f(x)在区间1,2上的最小值为1， 需分下列3种情况讨论：,f(2)72b1，b3，舍去.,f(1)4b1，b3. f(x)x23x3.,(1)对于二次函数，根据题目条件选择恰当的解析式的形式. (2)二次函数是典型的轴对称图形，用好对称轴是解决问题的一个关键. (3)研究二次函数在给定区间上的最值问题，往往需要讨论对称轴与区间的关系.在分类讨论时，要按照一定顺序，注意不重不漏.,反思与感悟,(1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间；,解答,f(x)的顶点坐标为(1,1)， 单调递减区间是(，1， 单调递增区间是1，).,(2)是否存在实数a，当a1时，f(x)的定义域和值域都是1，a，若存在，求出a，若不存在，说明理由.,解答,解 假设存在实数a满足条件.,a1或a3.又a1，a3. 存在实数a3，使f(x)的定义域和值域均为1，a.,当堂训练,1.函数f(x)ax2bxc，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上的零点 A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 若a0，则f(x)bxc是一次函数，由f(1)f(2)0得零点只有一个；若a0，则f(x)ax2bxc为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)f(2)0，与已知矛盾.故选C.,2.已知函数f(x) 则f(x)的最大值，最小值分别为 A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 当x1,2时，f(x)maxf(2)10， f(x)minf(1)8. 当x1,1时，f(x)maxf(1)8， f(x)minf(1)6. x1,2时，f(x)max10，f(x)min6.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 31，f(3)32333，,4.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)等于 A.3 B.1 C.1 D.3,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.,答案,解析,2,3,4,5,1,又f(x)在0，)上是减函数，,规律与方法,1.集合是函数乃至整个现代数学的基础，学习时要侧重符号语言的理解与准确表达，集合的并交补运算是重要的基本技能. 2.函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题. 3.单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题.解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向.,4.(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除. (2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题.定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函