第四节 角平分线(二),北师大版九年级数学上册,第一章 证明(二),习题18的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?,用心想一想，马到功成,发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点这一点到三角形三边的距离相等,放开手脚 做一做,剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流,用心想一想，马到功成,证明：三角形三条角平分线相交于一点,已知：如图，设ABC的角平分线BM、CN相交于点P， 求证：P点在BAC的角平分线上,证明：过P点作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足 BM是ABC的角平分线,点P在BM上 PD=PE 同理：PE=PFPD=PF 点P在BAC的平分线上 ABC的三条角平分线相交于点P,定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等,三角形角平分线的性质定理,比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理,如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？,开拓创新 试一试,满足条件共4个,例1如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD,用心想一想，马到功成,(1)解：AD是ABC的角平分线，C=90，DEAB DE=CD=4cm AC=BC B=BAC(等边对等角) C=90，B= 90=45 BDE=9045=45 BE=DE(等角对等边) 在等腰直角三角形BDE中 (勾股定理)， AC=BC=CD+BD=(4+ )cm,例1如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD,用心想一想，马到功成,(2)证明：由(1)的求解过程可知， RtACDRtAED(HL) AC=AE BE=DE=CD， AB=AE+BE=AC+CD,用心想一想，马到功成,例2已知：如图，P是 AOB平分线上的一点，PCOA，PDOB，垂足分别为C、D 求证：(1)OC=OD； (2)OP是CD的垂直平分线,证明：(1)P是AOB角平分线上的一点，PCOA，PDOB PC=PD 在RtOPC和RtOPD中， OP=OP，PC=PD， RtOPCRtOPD(HL) OC=OD(全等三角形对应边相等),(2)又OP是AOB的角平分线， OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理),课堂小结, 畅谈收获：,本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题,课内拓展延伸,如图，ABC中，点O是BAC与ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E已知ABC的周长为15，BC的长为6，求ADE的周长.,