全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注专题7.2 点线面的位置关系（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.【2018广西柳州联考】 空间中，设表示不同的直线， 表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】BD项，若,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m在平面内或平行，故D项不合题意.故选B.2. 已知直线,和平面，若，要使，则应增加的条件是 A B C D 【答案】C【解析】试题分析：由面面垂直的性质定理知答案为C考点：线面位置关系 3. 如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是（ ） A90 B30 C45 D60【答案】D【解析】考点：异面直线的夹角.4. 【2018河南郑州一中一模】已知两条不重合的直线和两个不重合的平面，若，则下列四个命题：若，则；若，则； 若，则；若，则，其中正确命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】对于,若,则,因为,所以,所以正确;对于,若时, ,不能推出,所以不能得出,错误;对于,若,则,而,由面面垂直的判定定理有,所以正确;对于,若,又, ,则的关系不能确定,可能平行,可能相交,可能异面,错误.正确的有,故正确命题的个数为2.选C.点睛:本题主要考查了立体几何中的线面位置关系,属于易错题.在中考查了线面垂直的性质定理,线面垂直,则线线垂直;在中,反例:见下图,直三棱柱中, 平面, 面,但平面平面,故是错误的; 是考查面面垂直的判定定理;在中, 直线的位置关系不能确定,可能平行,可能相交,可能异面.5. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）A B1 C D【答案】A【解析】考点：球内接多面体；点到面的距离的计算【思路点晴】本题考查点到面的距离的计算及球内接多面体问题及学生分析解决问题的能力，解答此类问题时要充分认识球内接多面体的性质，其中确定SHC与平面ABC的距离是关键，本题解答中根据三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=AB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH平面ABC，在面SHC内SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得到结论6. 在四面体中，两两垂直，且均相等，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意设取中点记为，连接,在中，分别是中点，所以，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，在中,则,同理，在等腰三角形中，,所以为等边三角形，所以与所成的角为，即与所成的角为，所以答案为C.考点：1.异面直线所成的角；2.三角形的中位线.7. 若是异面直线，是外的一点，有以下四个命题：过点一定存在直线与都相交；过点一定存在平面与都平行；过点可作直线与都垂直；过点可作直线与所成角都等于这四个命题中正确命题的序号是（ ）A B C D【来源】【百强校】2017届湖北黄冈中学高三上学期周末测试数学试卷（带解析）【答案】C【解析】试题分析：当直线与点确定的平面与平行时，过点所作的与相交的直线都在内，不可能与相交，因此命题不正确；同样，在这种情况下，过点作与平行的平面恰是，通过与并不平行，因此命题也不正确可以考虑与两直线平行在同一平面考虑. 故本题答案选C.考点：点、线、面之间的位置关系的判定8. 在中，是的角平分线（如图）。若沿直线将折成直二面角（如图）。则折叠后两点间的距离为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：是的角平分线，过作的垂线，过作的延长线的垂线，, ,；直线是异面直线，所成的角为；线段是公垂线段， .故选B.考点：平面与平面之间的位置关系；两条异面直线上两点间的距离.9. 如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.10. 如图,是正方体中上的动点，下列命题：；所成的角是60；为定值；平面；二面角的平面角为45其中正确命题的个数有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个【答案】C【解析】考点：线面平行的性质及判定线面垂直的性质及判定二面角的平面角应用11. 【2018吉林百校联盟联考】如图，在长方体中， ， ，点是长方体外的一点，过点作直线，记直线与直线， 的夹角分别为， ，若 ，则满足条件的直线（ ）A. 有1条 B. 有2条 C. 有3条 D. 有4条【答案】D【解析】由题意有： ，即： ，则，本题选择D选项.12. 如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（ ）；平面；三棱锥的体积有最大值A B C D【来源】【百强校】2017届广西陆川县中学高三9月月考数学（文）试卷（带解析）【答案】C【解析】试题分析：中由已知可得面，根据线面平行的判定定理可得平面当面面时，三棱锥的体积达到最大故选C考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）几何体的体积二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 如图，在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值是_【答案】【解析】试题分析：由于，所以（或其补角）就是所求异面直线所成的角，在中，考点：异面直线所成的角【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的结构特征、空间中异面直线所成角的求解，其中涉及到余弦定理和解三角形的相关知识，着重考查了学生的推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题，解答中根据，所以（或其补角）就是所求异面直线所成的角是解答的关键14. 【2018广西南宁一模】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是_（将符合题意的选项序号填到横线上）.所在平面；所在平面；所在平面；所在平面.【答案】15. 已知正方体中，点E是棱的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值是_.【答案】【解析】试题分析：取得中点,连接过点作垂直为,连接,在正方体中，平面,又平面，所以，又因为平面,平面,所以平面所以为与平面所成的角，设正方体棱长为1，,因为,直线AE与平面所成角的正弦值是考点：直线与平面所成的角16. 【2018河北衡水二模】点是棱长为的正方体的内切球球面上的动点，点为上一点， ，则动点的轨迹的长度为_【答案】【解析】由已知，要有 ，利用三垂线定理，只需考虑 在平面的射影 与垂直，如图1，由平面几何知识可知 为的三等分点，如图2所示，此时，动点的轨迹即为过与平面垂直的平面与球O面相交截得的圆，此时球心O到此圆面的距离，即为到的距离。由于，所以，所以，则，所以截面圆的半径，则所求轨迹的周长是 ，应填答案。点睛：本题是一道容空间线面位置关系及多面体与球的内切等位置关系与角度、距离、体积面积的计算等基本技能等能力的综合运用。解答时先将问题转化和化归，从而将问题转化为平面垂直的平面与球O面相交截得的圆的周长问题，进而转化为求即为到的距离，然后通过运用三角函数的知识求出，然后借助截面圆的半径与球的半径球心距之间的关系求出。三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 如图1，在直角梯形中，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示（1）求证：平面；（2）求几何体的体积【答案】（1）详见解析；（2）几何体的体积为【解析】试题分析：对于翻折问题，主要翻折前后的变与不变的量，（1）根据边的数据，能证明，根据面面垂直的性质定理，两平面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于平面，可证明；（2）根据上一问，所证明，底面是直角三角形，等腰直角三角形的高就是点到面的距离，所以利用体积公式.试题解析：（1）证明：在图中，可得，从而，故，方法一：取的中点，连接，则，又平面平面，平面平面，平面，从而平面，又，平面 6分（方法二：因为平面平面平面平面又因为平面平面 6分）考点：1、空间线面的垂直关系；2、几何体的体积18. 如图，四棱锥中,平面,，,分别为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面【答案】（1）见解析；(2)见解析.【解析】试题分析：（1）设，连结，然后根据已知条件推出四边形为菱形，再利用中位线定理即可使问题得证；(2)首先由题意知可得四边形为平行四边形，得到，然后由线面垂直的性质定理推出，再根据四边形为菱形，得到，即得证试题解析：（1）设，连结，由于为的中点，所以，因此四边形为菱形，所以为的中点，又为的中点，因此在中，可得.又平面，平面，所以平面(2)由题意知，,所以四边形为平行四边形，因此又平面，所以，因此因为四边形为菱形，所以又，平面，所以平面考点：1、线面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理与性质定理【方法点睛】证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件，证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础19. 【2018湖北部分重点高中联考】如图（1）所示，已知四边形是由和直角梯形拼接而成的，其中.且点为线段的中点， ， .现将沿进行翻折，使得二面角的大小为90，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上. （）证明： ；（）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2) 点到平面的距离为.（1）证明：因为二面角的大小为90，则，