全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注专题 导数与应用一、选择题1【2018陕西西安长安区质检】若，则的展开式中常数项为（ ）A. 8 B. 16 C. 24 D. 60【答案】C【解析】2【2018河南漯河中学三模】正项等比数列中的是函数的极值点，则的值为（ ）A. B. C. D. 与的值有关【答案】C【解析】，则， ， ，故选C。3【2018安徽阜阳一中二模】若，则的大小关系（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，故选D4【2018陕西西安五中二模】已知定义在上的奇函数的导函数为，当时， 满足， ，则在上的零点个数为（ ）A. 5 B. 3 C. 1或3 D. 1【答案】D又 当 成立，对任意是奇函数， 时， 即只有一个根就是0故选D5【2018河北衡水联考】已知函数为内的奇函数，且当时， ，记， ， ，则， ， 间的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数是奇函数，则，即当时， ，构造函数，满足，则函数是偶函数，结合函数的单调性可得： ，即： .本题选择D选项.点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)6【2018山西山大附中四调】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时，即解，构造函数，可令： ，所以 ，由，得： ，由，得： 得出解为，其中恰有两个整数 ，所以时成立，排除A、D.当，则， ，得：函数在上递减， 上递增，此时的解集至少包括，所以不合题意，故不能取，排除B，本题选C. 7【2018辽宁庄河两校联考】函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值【答案】D=令则，当时，当时，故当时，取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选点睛：根据已知条件要先构造出的解析式的形式，再根据求出，当一阶导数不能判定时可以求二阶导数，利用二阶导数反应一阶导数的单调性，从而反应出原函数的性质。8【2018河南名校联考】曲线在点处的切线方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以切线斜率，切线方程为，即，故选C.二、填空题9【2018广西桂梧高中联考】已知曲线在处的切线经过点，则_【答案】 【解析】由，得，【点睛】导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入即,求出切点，然后再确定切线方程.10【2018安徽阜阳一中二模】已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是_.【答案】当或时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增可作出大致函数图象如图所示：令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解关于的方程，恰好有4个不相等实数根关于的方程在和上各有一解，解得，故答案为点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.11【2018辽宁庄河两校联考】函数，若使得，则_.【答案】 故，当且仅当等号成立时成立，故即点睛：根据题目意思给出的解析式，运用导数求出的最小值，运用基本不等式求出的最小值，从而说明，由等号成立的条件计算出三、解答题12【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数.（1）若在上递增，求的取值范围；（2）证明： .【答案】（1）或（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要使在上递增，只需，且不恒等于0，所以先求得函数的增区间， 是增区间的子区间。（2）当时， ， 显然成立. 当时，即证明 ，令（），即求，由导数可证。（2）证明：当时， ， 显然成立.当时， ，在上递增，且，从而在上递减，即.综上， .【点睛】利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围, (2)已知函数的单调性求参数的取值范围 ,(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围常用思想方法：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立的问题(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解13【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）当时，函数有唯一零点，求正数的值.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为;（2）试题解析：解：（1）依题意，知，其定义域为，当时， ，.令，解得.当 时， .此时单调递增；当时, ,此时单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题可知， .令，即，因为，所以 (舍去)， .当时， ， 在上单调递减，当时， ， 在上单调递增，所以的最小值为.因为函数有唯一零点，所以，由即可得，因为，所以，设函数，因为当时该函数是增函数，所以至多有一解.因为当时， ，所以方程的解为，即，解得.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解14【2018安徽马鞍山联考】已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）【答案】(1) 或；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(2)由导函数的性质可得是函数的极大值， 是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.试题解析：，又，曲线在处的切线过点，得.（1），令，得，解得或的极值点为或.是函数的极大值， 是函数的极小值，要证，只需，令，则，设，则，函数在上单调递减，.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0（或f(x)0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f(x)0或f(x)0恒成立，且f(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f(x0)=0.15【2018安徽马鞍山联考】已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：试题解析：（1）由得，在上单调递增， ，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，在上单调递增， .实数的取值范围为.16【2018河南漯河三模】已知函数为常数），曲线在与轴的交点 处的切线斜率为.（1）求的值及函数的单调区间；（2）若，且，试证明： .【答案】（1），单调递减区间为，单调递增区间为.（2）见解析（2）设，构造函数，分别根据函数的单调性，以及，且 即可证明试题解析：（1）由，得，因为曲线在与轴的焦点A处的切线斜率为，所以，所以，所以，由，得，由，得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.所以在上单调递增，又，所以当时， ，即，所以，又因为，所以，由于，所以，因为，由（1）知函数在区间上单调递增，所以，即.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的导数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，其中利用构造法构造函数是解题的关键17【2018安徽阜阳一中二模】已知函数 为常数， .（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值范围是【解析】试题分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.（2）因为，所以，即所以在上单调递增，所以问题等价于对任意，不等式成立设，则当时，所以在区间上单调递减，此时所以不可能使恒成立，故必有，因为若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.18【2018安徽阜阳一中二模】已知曲线 在点 处的切线是 .（1）求实数 的值；（2）若 对任意 恒成立，求实数 的最大值.【答案】（1）； （2）的最大值为（2）由题意恒成立，整理得令，则，令，则，因此在上单调递增，因为，所以在上小于零，在上大于零，故在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值为，因此，故的最大值为点睛：恒成立问题的处理方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，就转化为；（3）若恒成立，可转化为.19【2018北京大兴联考】已知函数，且（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间