全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注第18练 空间角与空间向量【理】一.题型考点对对练1.(立体几何的综合问题)【浙江省源清中学2018届月考】如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的最小值为（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】D .显然且.所以.因为，所以.所以当， 取得最小值12.所以的最小值为.故选D.2.(立体几何的综合问题)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为_（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】3.(利用向量证明平行、垂直的位置关系)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面, 垂直于和, , , 是棱的中点（）求证： 平面；（）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（）设点是直线上的动点, 与平面所成的角为,求的最大值【解析】 （）以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则, , , , , , , ,设平面的一个法向量为,则令,得,平面（）易知平面的一个法向量为 ,设平面与平面所成的二面角为,易知,则,所以平面与平面所成的二面角的余弦值为（）设,则,易知平面的一个法向量为,当,即时, 取得最大值,且4.（利用空间向量求空间角）如图,在几何体中,四边形是菱形, 平面, , .（1）证明：平面平面.（2）若二面角是直二面角,求与平面所成角的正切值.（2）以点为原点, 方向为轴, 方向为轴, 方向为轴建立空间直角坐标系,如图.做的中点,连接,因为平行且等于, .所以四边形为平行四边形,因为在中, ,所以,所以，设长为,则各点坐标为； ； ； ，所以； ； ，设为面的法向量； 为面的法向量.所以； ，得，令得，同理得，因为二面角是直二面角,所以，得，由题可得： 为与平面所夹角 ，因为，所以5.（利用空间向量求空间角）【四川省成都市2018届一诊模拟】如图，在边长为4的菱形中, ，点分别是的中点， ，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且（1）求证： 平面（2）求二面角的余弦值.（2）设，连接 为等边三角形，在中，在中，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，由得令得平面的一个法向量为，由（1）知平面的一个法向量为，设求二面角的平面角为，则二面角的余弦值为6. (立体几何的综合问题)已知四边形为直角梯形,为中点,与交于点,沿将四边形折起,连接（1）求证：平面; （2）若平面平面（I）求二面角的平面角的大小；（II）线段上是否存在点,使平面,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由（2）由已知为边长为2的正方形,因为平面平面,又,两两垂直以为原点,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则（I）可求平面法向量为,平面法向量为,所以二面角的平面角的大小为（II）假设线段上是否存在点,使平面,设（）,则, 平面,则,可求所以线段上存在点,使平面,且二.易错问题纠错练7. (线段上的动点坐标不知如何表示)如图所示,在空间直角坐标系中,是坐标原点,有一棱长为的正方体和分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】题图所示的空间直角坐标系中,易得,则,由于E是体对角线上的动点,可设,则,设,于是,显然当时,故选B【注意问题】由于E是体对角线上的动点,可设,8. （把二面角等同于两法向量的夹角）九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图,在阳马中,侧棱底面,且, 为中点,点在上,且平面,连接,（）证明：平面；（）试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是,说明理由；（）已知, ,求二面角的余弦值（）四面体是鳖臑,其中, （）以, , 所在直线为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 , , , , 设,则得解得所以设平面的法向量, 令得, 平面的法向量,平面的法向量, 因为二面角是锐角,所以二面角的余弦值为 【注意问题】, 因为二面角是锐角,所以二面角的余弦值为三.新题好题好好练9. 【山西省榆社2018届月考】如图,在三棱锥中, , 底面， ， ， ，且.（1）若为上一点，且，证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（2）解： ，则，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， .设是平面的法向量，则，即令，得，设是平面的法向量，则，即， ，令，得.由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为.10.如图甲所示, 是梯形的高, , , ,现将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥,使得,点是线段上一动点.（1）证明： 和不可能垂直；（2）当时,求与平面所成角的正弦值.（1）设其中,所以 ,假设和垂直,则,有,解得,这与矛盾,假设不成立,所以和不可能垂直.（2）因为,所以 ,设平面的一个法向量是,因为,所以,即,取,而,所以,所以与平面所成角的正弦值为.安全生产工作怎么要求都不过份，怎么重视都不过份，安全生产无小事，安全生产责任重于泰山，抓好安全生产工作是极其重要的工作