7.4 直接证明与间接证明,知识梳理,考点自测,1.直接证明,成立,充分,知识梳理,考点自测,2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义:假设原命题 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出 ,因此说明假设错误,从而证明 的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:反设假设命题的结论不成立;归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.,不成立,矛盾,原命题成立,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件. ( ) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件. ( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾. ( ) (4)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾. ( ) (5)常常用分析法寻找解题的思路与方法,用综合法展现解决问题的过程. ( ) (6)证明不等式 最合适的方法是分析法. ( ),知识梳理,考点自测,2.命题“对于任意角,cos4-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4= (cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”过程应用了( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法,B,解析:因为证明过程是“从左往右”,即由条件推出结论.故选B.,3.若实数a,b满足a+b0,则( ) A.a,b都小于0 B.a,b都大于0 C.a,b中至少有一个大于0 D.a,b中至少有一个小于0,D,解析:假设a,b都不小于0,即a0,b0,则a+b0,这与a+b0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.,知识梳理,考点自测,4.用分析法证明不等式 时,最后推得的显然成立的最简不等式是 .,04,5.(教材习题改编P15T(2)用反证法证明“把100个球放在90个盒子里,至少有一个盒子里不少于2个球”应假设 .,每个盒子里都少于2个球,解析:因为“至少有一个盒子里不少于”的反面是“所有盒子里都少于”,所以应填“每个盒子里都少于2个球”.,考点一,考点二,考点三,综合法的应用(多考向) 考向1 数列中的证明 例1设数列an的前n项和为Sn,已知3an-2Sn=2. (1)证明an是等比数列并求出通项公式an;,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,思考哪些问题的证明适合用综合法? 解题心得综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.,考点一,考点二,考点三,对点训练1(2017湖北黄冈模拟)设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*),其中m为常数,且m-3. (1)求证:an是等比数列;,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,考向2 立体几何中的证明 例2(2017山东枣庄一模,文18)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是菱形,AB=2A1B1,AA1平面ABCD.求证: (1)BDC1C; (2)C1C平面A1BD.,考点一,考点二,考点三,证明 (1)连接AC,AA1平面ABCD, AA1BD. 四边形ABCD是菱形,ACBD, 又ACAA1=A,BD平面ACC1A1. CC1平面ACC1A1,BDCC1. (2)连接AC和A1C1,设ACBD=E. 底面ABCD是菱形, E为菱形ABCD的中心,由棱台的定义及AB=2A1B1, 可得ECA1C1,且EC=A1C1, 故ECC1A1为平行四边形,CC1A1E. CC1平面A1BD,A1E平面A1BD, CC1平面A1BD.,考点一,考点二,考点三,解题心得用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题常用转化法,例如证明线面平行或垂直一般转化成证明线线平行或垂直.,考点一,考点二,考点三,对点训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD, AB=AD,BAD=60,E,F分别是AP,AB的中点. 求证:(1)直线EF平面PBC; (2)平面DEF平面PAB.,考点一,考点二,考点三,证明 (1)在PAB中,因为E,F分别为PA,AB的中点, 所以EFPB. 又因为EF平面PBC,PB平面PBC, 所以直线EF平面PBC. (2)连接BD,因为AB=AD,BAD=60, 所以ABD为正三角形. 因为F是AB的中点,所以DFAB. 因为平面PAB平面ABCD,DF平面ABCD, 平面PAB平面ABCD=AB, 所以DF平面PAB. 又因为DF平面DEF,所以平面DEF平面PAB.,考点一,考点二,考点三,考向3 证明不等式 例3已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,思考综合法证明的特点是什么?,考点一,考点二,考点三,解题心得用综合法证明的特点是“由因导果”,即从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,分析法的应用,考点一,考点二,考点三,思考哪些问题的证明适合用分析法? 解题心得分析法证明问题的适用范围:当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,反证法的应用 例5设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和. (1)求证:数列Sn不是等比数列. (2)数列Sn是等差数列吗?为什么?,考点一,考点二,考点三,因为a10,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,这与公比q0矛盾, 所以数列Sn不是等比数列. (2)解 当q=1时,Sn=na1,故Sn是等差数列; 当q1时,Sn不是等差数列.假设Sn是等差数列,则2S2=S1+S3, 即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得q=0,这与公比q0矛盾. 综上,当q=1时,数列Sn是等差数列; 当q1时,Sn不是等差数列.,考点一,考点二,考点三,思考反证法的适用范围及证题的关键是什么? 解题心得反证法的适用范围及证题的关键 (1)适用范围:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证. (2)关键:在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.推导出的矛盾必须是明显的.,考点一,考点二,考点三,对点训练5设an是公比为q的等比数列,且q1,证明数列an+1不是等比数列.,证明 假设an+1是等比数列, 则对任意的kN*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),a10,2qk=qk-1+qk+1. q0,q2-2q+1=0, q=1,这与已知矛盾. 假设不成立,故an+1不是等比数列.,考点一,考点二,考点三,1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件. 2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程. 3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.,考点一,考点二,考点三,1.应用分析法要书写规范,常用“要证”“只需证”等分析到一个明显成立的结论. 2.应用反证法要将假设作为条件进行推理,不使用假设而推出矛盾的,其推理过程是错误的. 3.注意推理的严谨性,在证明过程中每一步推理都要有充分的依据,这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论,不可盲目使用正确性未知的自造结论.,