第第 2525 练练 极坐标与参数方程极坐标与参数方程【文文】 一一. .题型考点对对练题型考点对对练 1 （极坐标化为普通方程）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为 极轴建立极坐标系.已知直线 ： 经过点，曲线：. （）求直线 和曲线的直角坐标方程； （）若点为曲线上任意一点，且点到直线 的距离表示为，求的最小值. （）设，则点到直线 的距离 ， 当时，. 2.（与圆的相关的极坐标方程解决方法）在直角坐标系中，曲线， 曲线的参数方程为：， （为参数） ，以为极点，轴的正半轴为极轴的 极坐标系. （1）求的极坐标方程； （2）射线与的异于原点的交点为，与的交点为，求. 【解析】 （1）将代入曲线的方程：，可得曲线的极坐标方 程为， 曲线的普通方程为，将代入，得到的极坐标方程为 （2）射线的极坐标方程为，与曲线的交点的极径为 射线与曲线的交点的极径满足，解得 所以 3.（参数方程与极坐标方程互化）已知曲线：（为参数）和直线 ： （ 为参数） （1）将曲线的方程化为普通方程； （2）设直线 与曲线交于两点，且为弦的中点，求弦所在的直线 方程 （2）将代入， 整理得由为的中点，则 ，即，故，即，所 以所求的直线方程为 4.（直线的参数方程中 t 的几何意义应用）在直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标 系，曲线的极坐标方程为 （1）写出曲线的直角坐标方程； （2）已知点的直角坐标为，直线 与曲线相交于不同的两点，求 的取值范围 【解析】 （）； （）因为点在椭圆的内部，故 与恒有两个交点，即，将直线 的参数方 程与椭圆的直角坐标方程联立，得，整理得 ，则. 5.（极坐标与参数方程的综合应用）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极 坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（ 为参数） ，经过伸缩变换后得到曲线. （1）求曲线的参数方程； （2）若点的曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值. （2）曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程： ，点到的距离 ，点到的距离的最 小值为. 二二. .易错问题纠错练易错问题纠错练 6.（圆的极坐标方程应用不当至错）在直角坐标系中，曲线，曲线 为参数） ， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标 系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）若射线分别交于两点， 求的最大值. 【解析】 （1）C1：(cossin)4，C2的普通方程为(x1)2y21，所以 2cos （2）设A(1，)，B(2，)，Error!Error!，则 1Error!，22cos， Error!Error!Error!2cos(cossin)Error!(cos2sin21) Error!cos(2Error!)1， 当Error!时，Error!取得最大值Error!(1) 【注意问题】根据转化即可 7.（不明确直线的参数方程中的几何意义至错）在直角坐标系中，直线 的参数方程 为（ 为参数） ，若以该直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （）求直线 与曲线的普通方程； （）已知直线 与曲线交于两点，设，求的值. （）设对应的参数为，将代入得， ，直线 的参数方程为可化为， ， . 【注意问题】直线 l 的参数方程为 ， ，整理可得， 利用参数的几何意义，求的值 三三. .新题好题好好练新题好题好好练 8.在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为 . （）若直线 与圆相切，求的值； （）若直线 与曲线：（为参数）交于，两点，点，求 . （）曲线的普通方程为：，点在直线上，所以直线 的 参数方程还可以写为：（ 为参数）.将上式代入得 ，设，对应的参数分别为，所以， ，所以. 9.在极坐标系中，曲线，曲线，以极点为坐标 原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（ 为参 数） （1）求的直角坐标方程； （2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求 的值 （2）不妨设四点在上的排列顺次至上而下为，它们对应的参数分别为 ，如图，连接，则为正三角形，所以， ，把代入 ，得：，即，故，所以 . 10.已知直线 的参数方程是（ 是参数） ，圆的极坐标方程为 （1）求圆心的直角坐标； （2）由直线 上的点向圆引切线，求切线长的最小值 【解析】 （1）， ， 圆的直角坐标方程为，即， 圆心的直角坐标为. （2）直线 上的点向圆引切线，则切线长为 ， 直线 上的点向圆引的切线长的最小值为. 11.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为. （）求出圆的直角坐标方程； （）已知圆与轴相交于，两点，直线 ：关于点对称的 直线为.若直线上存在点使得，求实数的最大值. 12.已知直线（ 为参数） ，曲线（为参数）. （1）设 与相交于两点，求； （2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到 曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线 的距离的最大值. 【解析】 （I） 的普通方程为，的普通方程为联立方程组 解得 与的交点为,则. （II）的参数方程为为参数).故点的坐标是, 从而点到直线 的距离是,由此当 时,取得最大值,且最大值为.