2.9 函数模型及其应用,知识梳理,考点自测,1.常见的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0); (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0); (3)反比例函数模型:f(x)= (k为常数,k0); (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1); (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,a1); (6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0);,知识梳理,考点自测,2.指数、对数、幂函数模型的性质比较,单调递增,单调递增,单调递增,y轴,x轴,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)幂函数增长比一次函数增长更快. ( ) (2)在(0,+)内,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y=x(0)的增长速度. ( ) (3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题. ( ) (4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x(4,+)时,恒有h(x)0,b1)增长速度越来越快的形象比喻. ( ),知识梳理,考点自测,2.(教材例题改编P123例1)一个工厂生产一种产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=0.1x2+10x+300 (0x240,xN),若每台产品的售价为25万元,生产的产品全部卖出,则该工厂获得最大利润(利润=销售收入-产品成本)时的产量是( ) A.70台 B.75台 C.80台 D.85台,B,解析:根据题意知销售收入是25x, 所以利润是w=25x-(0.1x2+10x+300),即w=-0.1x2+15x-300, 所以当x=75时,wmax=-0.1752+1575-300=262.5(万元).,知识梳理,考点自测,3.(教材例题改编P123例2)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表,则x,y最适合的函数是( ),A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x,D,解析:根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.,知识梳理,考点自测,4.(教材例题改编P97例2)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,在销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.,1024,知识梳理,考点自测,5.(教材例题改编P102例3)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了 km.,9,考点一,考点二,考点三,考点四,二次函数模型,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,思考生活中常见的哪些问题涉及的两个变量之间的关系是二次函数关系? 解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间的关系是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练1(2017河南洛阳月考)为了维持市场持续发展,壮大集团力量,某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产,打入国际市场.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位:万美元):,其中年固定成本与年生产的件数无关,a为常数,且6a8.另外,当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税,假设所生产的产品均可售出.,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x(xN*)之间的函数关系式; (2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润; (3)如何决定投资可使年利润最大?,解 (1)y1=(10-a)x-20(1x200,xN*), y2=-0.05x2+10x-40(1x120,xN*). (2)10-a0,y1为增函数, 当x=200时,y1取得最大值1 980-200a,即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980-200a)万美元. y2=-0.05(x-100)2+460(1x120,xN*), 当x=100时,y2取得最大值460,即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元.,考点一,考点二,考点三,考点四,(3)为研究生产哪种产品年利润最大,我们采用作差法比较: 由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980-200a)万美元,生产乙产品的最大年利润为460万美元, (1 980-200a)-460= 1 520-200a,且6a8, 当1 520-200a0,即6a7.6时,投资生产甲产品200件可获得最大年利润; 当1 520-200a=0,即a=7.6时,生产甲产品200件或生产乙产品100件均可获得最大年利润; 当1 520-200a0,即7.6a8时,投资生产乙产品100件可获得最大年利润.,考点一,考点二,考点三,考点四,分段函数模型 例2(2017江苏如东一中月考)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?,考点一,考点二,考点三,考点四,解 (1)设每团人数为x,由题意得0x75(xN*),飞机票价格为y元,因为S=900x-15 000在区间(0,30上为增函数,故当x=30时,S取最大值12 000.又S=-10(x-60)2+21 000,x(30,75,所以当x=60时,S取得最大值21 000. 故当x=60时,旅行社可获得最大利润.,考点一,考点二,考点三,考点四,思考分段函数模型适合哪些问题? 解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数. 2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练2已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元,每生产1万台还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万台并全部销售完,每万台的销售收入为R(x)万美元,且 (1)写出年利润W(单位:万美元)关于年产量x(单位:万台)的函数解析式; (2)当年产量为多少万台时,苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,“对勾”函数模型:y=x+ (a0)的应用 例3某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练3(2017江西新余一中检测)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系 (0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式. (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,指数型、对数型函数模型 例4某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数;(精确到0.1万人) (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年) (1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210,log1.0121.215.3),考点一,考点二,考点三,考点四,解 (1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%), 2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2, 3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3, x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x. 所以该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式是y=100(1+1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为100(1+1.2%)10112.7(万人). 所以10年以后该城市人口总数约为112.7万人.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,思考哪些实际问题适合用指数函数模型解决? 解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. 2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练4声强级Y(单位:分贝)由公式 给出,其中I为声强(单位:W/m2). (1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级. (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少? (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为510-7 W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,1.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:,考点一,考点二,考点三,考点四,2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.,1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错. 2.解应用题建模后一定要注意定义域. 3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.,