全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注专题十七 解三角形考点37 正弦定理与余弦定理考场高招1 应用正、余弦定理的解题技巧1.解读高招技巧解读适合题型典例指引边化角将表达式中的边利用公式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C化为角的关系等式两边是边的齐次形式典例导引1(1)角化边将表达式中的角利用公式转化为边,出现角的正弦值用正弦定理转化,出现角的余弦值由余弦定理转化等式两边是角的齐次形式、a2+b2-c2=ab形式典例导引1(2)和积互化a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc(1+cos A).可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边出现b+c,bc等结构形式典例导引1(4)方积互化与重要不等式相联系,由b2+c22bc,得a2=b2+c2-2bccos A2bc-2bccos A=2bc(1-cos A),可探求边或角的范围问题求边、角、面积等取值范围问题典例导引1(3)2.典例指引1(1)ABC的三个内角A,B,C对边的长分别为a,b,c,若asin Asin B+bcos2A=a,则等于()A.2B.2C.D.(2)在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=b,且sin(A-C)=2cos Asin C,则b等于()A.6B.4C.2D.1(3)已知ABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C,则sin B+cos B的取值范围是()A.B. C.(1, D.(4)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B=bcos A.若a=4,则ABC周长的最大值为(2)(角化边)由题意,得sinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC,即sinAcosC=3cosAsinC,由正、余弦定理,得a=3c,整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=b,联立得b=2,故选C.(3)设y=sinB+cosB=sin.a,b,c成等比数列,b2=ac,cosB=,0Bsin1,10,sinA=cosA,即tanA=.0A,A=.由余弦定理,得a2=16=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc(b+c)2-3,则(b+c)264,即b+c8(当且仅当b=c=4时等号成立),所以ABC的周长=a+b+c=4+b+c12,即最大值为12.【答案】 (1)D(2)C(3)C(4)12 3.亲临考场1.(2016天津,理3)在ABC中,若AB= ,BC=3,C=120,则AC=() A.1B.2C.3D.4 【答案】 A由余弦定理得13=9+AC2+3ACAC=1.故选A. 2.(2016课标,理13)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【答案】 【解析】因为cosA=,cosC=,且A,C为ABC的内角,所以sinA=,sinC=,sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.又因为,所以b=.3.(2015广东,理11)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.考点38 解三角形及其应用考场高招2 判断三角形形状问题的规律1.解读高招规律解读典例指引角化边利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,从而判断三角形的形状典例导引2(1)边化角利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论典例导引2(2)温馨提醒注意在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解2.典例指引2(1)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形(2)已知ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若=2c,则ABC的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形(2)=2c,由正弦定理可得=2sinC,而2=2,当且仅当sinA=sinB时取等号.2sinC2,即sinC1.又sinC1,故可得sinC=1,C=90.又sinA=sinB,A=B,故三角形为等腰直角三角形,故选C.【答案】 (1)C(2)C 3.亲临考场1.在ABC中，若sin Bsin Ccos2，且sin2Bsin2Csin2A，则ABC是()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】D【解析】sin Bsin C，2sin Bsin C1cos A1cos(BC)，cos(BC)1，B、C为三角形的内角，BC，又sin2Bsin2Csin2A，b2c2a2，综上，ABC为等腰直角三角形2.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定考场高招3 解三角形应用题的规律 1.解读高招规律解读典例指引1实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解典例导引3(1)2实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解典例导引3(2)温馨提醒解三角形应用题的一般步骤:分析(画出图形)建模(建立解斜三角形模型)解模(利用正余弦定理有序地求解)检验(检验上述所求三角形是否有实际意义)2.典例指引3(1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于() A.240(-1) m B.180(-1) m C.120(-1) m D.30(+1) m(2)(2016广东佛山一模)如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到:CD=2,CE=2,D=45,ACD=105,ACB=48.19,BCE=75,E=60,则A,B两点之间的距离为.(2)依题意知,在ACD中,A=30,由正弦定理得AC=2,在BCE中,CBE=45,由正弦定理得BC=3.在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=10,AB=.3.亲临考场1.(2017浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.【答案】【解析】将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6. 2.(2015湖北,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.【答案】100考场高招4 三角形与不等式相结合解题的规律 1.解读高招方法解读典例指引利用三角形有解已知三角形的边a及对角A,求三角形有两解时边b的范围,根据bsin Aa30B.A=2BC.cb,所以C错;三角形面积S=absinC=b2sinCb2,故选D.(2)B,C,A成等差数列,A+B=3C.又A+B+C=,C=,由SABC=absinC=1+,得ab=2(2+).c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,a2+b22ab,c2(2-)ab=4,解得c2,c的最小值为2.(3)根据题意,可设AB=AC=2x,则AD=x(2x6),由余弦定理,得cosA=,sinA=,SABC=ABACsinA=4x2=224,当x2=20,即x=2时等号成立,所以当ABC的面积取得最大值时,AB的长为4.【答案】(1)D(2)2(3)43.亲临考场1.(2015课标,理16)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75, BC=2,则AB的取值范围是. 【答案】()2.(2014课标,理16)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为【答案】安全生产工作怎么要求都不过份，怎么重视都不过份，安全生产无小事，安全生产责任重于泰山，抓好安全生产工作是极其重要的工作