全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注考点51随机抽样与样本估计总体【考纲要求】1随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性；(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法. 2用样本估计总体 (1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点；(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差；(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释；(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想；(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题【命题规律】分析近几年的高考试题不难知本部分在高考中一般为一个小题或者在解答题与其它的概率问题相结合考查；常常考查抽样方式的判断，其中系统抽样与分层抽样是考查重点；利用样本估计商品化中，特别应重视频率分布真方图和茎叶图的应用，另外常见的数字特征的求法也是高考命题点，预计2018年高考对本部分的考查着重考查以下几个方面：（1）分层抽样中各层抽取样本个数的确定；（2）对样本频率分布真方图、茎叶图的理解和应用【典型高考试题变式】（一）简单随机抽样例1 【2013年江西】总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481A08B07C02D01【答案】D【变式1】【改变了总体个数与样本个数及随机数表的选取的开始号】福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，32,33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为（ ）A. 12 B. 33 C. 06 D. 16【答案】C【解析】第1行第9列和第10列的数字为63，所以选择的数为17，12 ，33， 06，32，22，10，第四个数为06，故选C【变式2】【改变了随机数表的排列方式及与概率交汇】天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0-9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】阅读随机数表可知，满足题意的数据为： ，据此可知：这三天中恰有两天下雨的概率近似为，故选B（二）系统抽样例1 【2013年陕西卷】某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2, ，840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间481, 720的人数为 （）A11B12C13D14【答案】B【方法技巧归纳】（1）系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码；（2）系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行【变式1】【变求在某一区间内的抽取的个体数为求确定在第1段抽取的初始号】用系统抽样法(按等距离的规则)从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号按编号顺序平均分成20段(18号，916号，153160号)，若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是()A. 7 B. 5 C. 4 D. 3【答案】B【解析】用系统抽样知，每段中有8人，第16段应为从121到128这8个号码，125是其中的第5个号码，所以第一段中被确定的号码是5，故选B【变式2】【变求某区间内的抽取的个数为确定系统抽样每个个体被抽取的概率】从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的可能性（ ）A. 不全相等B. 均不相等C. 都相等，且为D. 都相等，且为【答案】D【解析】用简单随机抽样从2007人中剔除7人，每个人被剔除的概率相等，剩下的人再按系统抽样的方法抽取，每个人被抽取的概率也相等，这种方法下，每人入选的概率是相等的，为，故选D（三）分层抽样例3 【2017年江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_ 件【答案】18【解析】由题意，知分层抽样的抽样比为，所以应从丙种型号的产品中抽取件，故填18【方法技巧归纳】进行分层抽样时应注意以下几点：（1）分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样；（4）抽样比样本容量个体数量各层样本容量各层个体数量【变式1】【变确定某层的个数为确定求各层抽取的个体数】具有三种性质的总体，其容量为63，将三种性质的个体按124的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则三种元素分别抽取的个数是()A. 12、6、3 B. 12、3、6 C. 3、6、12 D. 3、12、6【答案】C【变式2】【变确定某层的个数为求样本容量】某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比依次为现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号的产品共有件，那么此样本的容量为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知，总体中中种型号产品所占的比例是，因样本中种型号产品有件，则，解得，故选C.（四）频率分布直方图例4 【2017北京卷】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30），30,40），80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【答案】（1）0.4（2）20（3）3:2 (2)由频率分布直方图知，样本中分数在区间的人数为 (人)，已知样本中分数小于40的学生有5人，所以样本中分数在区间内的人数为 (人)，设总体中分数在区间内的人数为，则，得，所以总体中分数在区间内的人数为20人.【方法技巧归纳】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和【变式1】【背景变了，同时变计算各组频数与频率为和分层抽样结合】每年的4月23日是“世界读书日”,某校研究性学习小组为了解本校学生的阅读情况,随机调查了本校200名学生在这一天的阅读时间 (单位:分钟),将样本数据整理后绘制成如图的样本频率分布直方图.（1）求的值；（2）试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间；（3）若用分层抽样的方法从这200名学生中，抽出25人参加交流会，则阅读时间为， 的两组中各抽取多少人？【答案】(1) ；(2) ；(3) 阅读时间在分钟的应选人，阅读时间在分钟的应选人【解析】（1）由已知，得，解得【变式2】【背景变了，同时变为考查频率与概率之间关系】微信运动和运动手环的普及，增强了人民运动的积极性，每天一万步称为一种健康时尚，某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动，经过几个月的扎实落地工作后，学校想了解全校师生每天一万步的情况，学校界定一人一天走路不足千步为不健康生活方式，不少于千步为超健康生活方式者，其他为一般生活方式者，学校委托数学组调查，数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况，结合实际及便于分层抽样，认定全校教师人数为人，高一学生人数为人，高二学生人数人，高三学生人数，从中抽取人作为调查对象，得到了如图所示的这人的频率分布直方图，这人中有人被学校界定为不健康生活方式者.（1）求这次作为抽样调查对象的教师人数；（2）根据频率分布直方图估算全校师生每人一天走路步数的中位数（四舍五入精确到整数步）；（3）校办公室欲从全校师生中速记抽取人作为“每天一万步”活动的慰问对象，计划学校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓励元，超健康生活方式者表彰奖励元，一般生活方式者鼓励性奖励元，利用样本估计总体，将频率视为概率，求这次校办公室慰问奖励金额恰好为元的概率.考试文科数学【答案】（1）10（2）（3）（3）有频率分布直方图知不健康生活方式者概率为，超健康生活方式者的概率为，一般生活方式者的概率为，因为，这次校办公室慰问奖励金额恰好为元的概率为.（五）茎叶图例5 【2013年安徽卷】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1， 2，估计12的值【答案】（1）（2）【解析】 （1）设甲校高三年级学生总人数为.由题意知，解得.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为.【方法技巧归纳】（1）由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，且能从茎叶图中看到原始数据，没有任何信息损失，便于记录和表示，但当样本容量较大时，作图较繁；（