9.3 圆的方程,知识梳理,考点自测,1.圆的定义及方程,2.点与圆的位置关系 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0), (1)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆上; (2)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆外; (3)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆内.,定点,定长,(a,b),r,=,知识梳理,考点自测,1.圆心在过切点且垂直于切线的直线上. 2.圆心在任一弦的垂直平分线上. 3.两圆相切时,切点与两圆心三点共线. 4.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(公式推导:设圆上任一点P(x,y),则有kPAkPB=-1,由斜率公式代入整理即可),知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条. ( ) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆. ( ),(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. ( ) (5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是B=0,D2+E2-4F0. ( ),知识梳理,考点自测,2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为 ( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1,A,知识梳理,考点自测,B,知识梳理,考点自测,4.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为( ) A.(-,-2) B.(-,-1) C.(1,+) D.(2,+),D,解析:曲线C的方程可以化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a),半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限,所以a2.,5.(2017湖南邵阳一模,文14)已知A(-1,4),B(3,-2),以AB为直径的圆的标准方程为 .,(x-1)2+(y-1)2=13,解析:以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得(x-1)2+(y-1)2=13.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,求圆的方程 例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 (2)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( ),B,C,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考求圆的方程有哪些常见方法? 解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,对点训练1(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 . (2)(2017河南百校联盟)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为 .,(x-3)2+y2=2,(x-2)2+(y-1)2=10,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,与圆有关的轨迹问题 例2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程; (2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,解 (1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,点P的坐标为(2x-2,2y). 因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设PQ的中点为N(x,y). 在RtPBQ中,|PN|=|BN|. 设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法? 解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,对点训练2已知点A(-1,0),点B(2,0),动点C满足|AC|=|AB|,则点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程为 .,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,与圆有关的最值问题(多考向) 考向1 斜率型最值问题 例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求 的最大值和最小值.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向2 截距型最值问题 例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.,思考如何求解形如ax+by的最值问题?,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向3 距离型最值问题 例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.,解 如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向4 建立目标函数求最值问题 例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为 .,x+y-2=0,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值? 解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律: (1)借助几何性质求最值 形如 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题; 形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; 形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解,其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,0,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,求半径常有以下方法: (1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径; (2)若已知弦长、弦心距、半径,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,易错警示轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误 典例设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,反思提升1.本题易忘记四边形MONP为平行四边形,导致忘记除去两个特殊点. 2.本题也容易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程,要知道,求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程,还要说明方程对应的是什么曲线.,