4.7 解三角形,知识梳理,考点自测,1.正弦定理和余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线 的角叫做仰角,目标视线在水平视线 的角叫做俯角(如图). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等. (3)方位角:指从正北方向 转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为(如图). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.,上方,下方,顺时针,知识梳理,考点自测,1.在ABC中,常有以下结论 (1)A+B+C=. (2)在三角形中大边对大角,大角对大边. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;,(5)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. (6)ABabsin Asin Bcos A0时,可知A为锐角; 当b2+c2-a2=0时,可知A为直角; 当b2+c2-a20时,可知A为钝角.,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. ( ) (2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. ( ) (3)在ABC中,sin Asin B的充分不必要条件是AB. ( ) (4)在ABC中,a2+b2c2是ABC为钝角三角形的充分不必要条件. ( ) (5)在ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个. ( ),知识梳理,考点自测,D,解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即5=b2+4-4b , 即3b2-8b-3=0,又b0,解得b=3,故选D.,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,4.(2017全国,文15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60, ,c=3,则A= .,5.(2017全国,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .,75,考点一,考点二,考点三,考点四,例1(2017山东淄博二模,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos A(ccos B+bcos C)=a. (1)求A;,利用正弦定理、余弦定理解三角形,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形? 解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能够实现边角互化. 2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. 3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练1在ABC中,A=60,c= a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求ABC的面积.,考点一,考点二,考点三,考点四,判断三角形的形状 例2在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C= ,试判断ABC的形状.,解 (1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C及正弦定理, 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, 即bc=b2+c2-a2,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,思考判断三角形的形状时主要有哪些方法? 解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法: (1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练2(2017广东、江西、福建十校联考,文17)在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.,(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断ABC的形状.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,正弦定理、余弦定理与三角变换的综合问题,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,思考在三角形中进行三角变换要注意什么? 解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数. 2.在解三角形问题中,因为面积公式S= absin C= bcsin A= acsin B中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供了条件.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,例4设ABC三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量p=(a,2b), q=(sin A,1),且pq. (1)求B的大小; (2)若ABC是锐角三角形,m=(cos A,cos B),n=(1,sin A-cos Atan B),求mn的取值范围.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用 例5如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75的方向上,山顶D的仰角为30,则此山的高度CD= m.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,思考利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路是什么? 解题心得利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解; (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,根据条件列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练5(2017福建福州一模,文15)如图,小明同学在山顶A处观测到,一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,45,且BAC=135.若山高AD=100 m,汽车从点B到点C历时14 s,则这辆汽车的速度为 m/s. (精确到0.1 m/s),22.6,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系. 2.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的解题思路:先将角都化成边或将边都化成角,再结合正弦定理、余弦定理即可求解. 3.在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据“大边对大角”来取舍.,1.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象. 2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.,