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全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故,造成严重的人员伤亡,特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故,引起了党中央和国务院的高度关注专题06 大题易丢分 理1在中, 是边的中点,记(1)求的大小;(2)当取最大值时,求的值.【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)根据两角和差公式得到原式等价于,因为正弦值不为0,故得到,即。(2)根据中线的性质得到,平方得到边之间的关系,有不等式的性质得到,进而得到t的最值,此时三角形为正三角形,可以直接得到角的正切值。(2),令,因为,所以,在中, ,所以,当且仅当时取等号,此时, 为正,所以当取最大值时, 点睛:这个题目主要考查正弦定理和余弦定理(即和题目中中线的向量的应用得到的式子相同)在解三角形中的应用,解三角形中常用的方法有正弦定理,余弦定理,其中知道一边和对角用正弦,知道两边和夹角用余弦,知道两角和一边用正弦。2在中,内角, , 的对边分别是, , ,满足.(1)求角;(2)若的面积为,求的值.【答案】(1) .(2)1.试题解析:(1)由及余弦定理得,.由正弦定理与同角三角函数基本关系得,又,.(2)的面积为,即, ,.3已知等比数列中, , ()求数列的通项公式()若, 分别为等差数列的第项和第项,求【答案】(), ()见解析.(), 分别为等差数列的第项和第项, ,设等差数列的公差为,则: ,解得, ,等差数列的通项公式,当时, ,当时, 综上所述: 4已知单调的等比数列的前项的和为,若,且是的等差中项.()求数列的通项公式;()若数列满足,且前项的和为,求.【答案】() ;() .试题解析:()因为是的等差中项,所以或(舍); () ; 点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.5某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理(I)若花店一天购进枝玫瑰花,写出当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:枝, )的函数解析式(II)花店记录了天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量频数以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率(i)若花店一天购进枝玫瑰花, 表示当天的利润(单位:元),求的分布列,数学期望(ii)若花店计划一天购进枝或枝玫瑰花,你认为应购进枝还是枝?只写结论【答案】(I);(II)(i)见解析,(ii)应购进枝.试题解析:(I)当时,当时,故(II)(i)可取, , ,故的分布列如下:,(ii)购进枝时,当天利润为,故应购进枝点晴:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”,即利用排列组合,枚举法,概率公式(常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.6某大型娱乐场有两种型号的水上摩托,管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来的经济收入情况,对该场所最近6年水上摩托的使用情况进行了统计,得到相关数据如表:年份201120122013201420152016年份代码123456使用率()111316152021(1)请根据以上数据,用最小二乘法求水上摩托使用率关于年份代码的线性回归方程,并预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率;(2)随着生活水平的提高,外出旅游的老百姓越来越多,该娱乐场根据自身的发展需要,准备重新购进一批水上摩托,其型号主要是目前使用的型、型两种,每辆价格分别为1万元、1.2万元.根据以往经验,每辆水上摩托的使用年限不超过四年.娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了50辆进行统计,使用年限如条形图所示:已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是0.8万元,若用频率作为概率,以每辆水上摩托纯利润(纯利润收益购车成本)的期望值为参考值,则该娱乐场的负责人应该选购型水上摩托还是型水上摩托?附:回归直线方程为,其中, .【答案】(1)回归方程为.预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率为.(2)答案见解析.试题解析:(1)由表格数据可得, , , ,水上摩托使用率关于年份代码的线性回归方程为.当时, ,故预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率为.每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值(万元).应该选购型水上摩托。点睛:(1)线性回归方程体现了两个变量之间的相关关系,求得两个变量间的回归关系之后可根据回归方程进行估计,以便为下一步的决策提供参考依据。(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,均值的大小也可为下一步的决策提供参考依据。7某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:)进行测量,得出这批钢管的直径服从正态分布.()如果钢管的直径满足为合格品,求该批钢管为合格品的概率(精确到0.01);()根据()的结论,现要从40根该种钢管中任意挑选3根,求次品数的分布列和数学期望.(参考数据:若,则;)【答案】(1)0.95.(2)见解析试题解析:()由题意可知钢管直径满足为合格品,所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.()由()知,40根钢管中合格品为38根,次品为2根,任意挑选3根,则次品数的可能取值为0,1,2,.次品数的分布列为.点睛:(1)正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现,主要考查正态曲线的性质(特别是对称性),常以选择题、填空题的形式出现,难度较小;有时也会与概率与统计结合,在解答题中考查(2)对于求随机变量在特殊区间上的概率时,一定要掌握服从N(,2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率的结论,将所求问题向P(X),P(2X2),P(3X3)转化,然后利用特定值求出相应概率 8如图,已知四棱锥的底面为直角梯形, , ,且, .(1)求证:平面平面;(2)设,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2) .试题解析:(1)证明:如图,取, 的中点, ,连接, , , ,则四边形为正方形,.又,又平面,又平面.,.又,平面.又平面,平面平面.令,则, , , , , .设平面的一个法向量为,由,得,取,得.又设平面的法向量为,由得,取,得,由图形得二面角为锐角,二面角的余弦值为.点睛:利用坐标法解决空间角问题的步骤及注意点(1)解题步骤:证明存在两两垂直的三条直线,建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出平面的法向量,根据向量的数量积求得两法向量夹角的余弦。(2)注意事项:解题时分清两法向量的夹角与二面角大小的关系,在求得法向量夹角余弦的基础上,要结合图形判断二面角为锐角还是钝角,最后得到结论。9在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形, , , 平面, , .(1)求证: 平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2) .试题解析:(1)因为四边形是等腰梯形, ,所以.又,所以,因此, ,又,且, 平面,所以平面.设平面的法向量为由于,取,则,由于是平面的一个法向量,则所以二面角的余弦值为.解法二:如图,取的中点,连接由于,因此,又平面, 平面,所以,又,所以,故,因此二面角的余弦值为.点睛:本题考查线面垂直的证明与二面角的余弦值的求法,解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及二面角的两种求法-向量法与几何法,本题是高中数学的典型题,也是高考中的热点题型,尤其是利用空间向量解决立体几何问题是近几年高考的必考题,学习时要好好把握向量法的解题规律10如图,四边形是梯形,四边形是矩形,且平面平面, , , , 是线段上的动点.(1)试确定点的位置,使平面,并说明理由;(2)在(1)的条件下,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析: 根据所给图形,得到当是线段的中点时, 平面,连结,交DF于,连结,利用三角形中位线定理能够证明平面;过点作平面与平面的交线,过点作于,过作于,连结由已知条件推导出是平面与平面所成锐二面角的平面角,由此能求出所求二面角的余弦值。()过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l,AC平面DMF,ACl,过点M作MGAD于G,平面ABCD平面CDEF,DECD,DE平面ABCD,平面ADE平面ABCD,MG平面ABCD,过G作GHl于H,连结MH,则直线l平面MGH,lMH,MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角设AB=2,则DG=1,GH=DGsinGDH=DGsinDAC=1=,MG=1cosMHG=,所求二面角的余弦值为11已知椭圆的与椭圆有相同的焦点,且椭圆过点.(1)求的长轴长;(2)设直线与交于两点(在的右侧),为原点,求.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1)根据题意,列出,求得的值,即可得到椭圆的长周长;(2)把直线的方程代入椭圆的方程,利用根与系数的关系得,得的坐标,即可求解故.(2)由,得,解得,则,故.12已知圆过点, ,且圆心在轴上()求圆的标准方程()若过原点的直线与圆无交点,求直线斜率的取值范围【答案】()()【解析】试题分析:(1)由于圆心在轴上,利用待定系数法可设标准方程为,将点代入方程可得方程组,解出方程组即可;(2)设直线的方程为,直线与圆无交点,等价于圆心到直线的距离大于半径,列出不等式即可.试题解析:()圆心在轴上,可设的标准方程为,圆过点和点,解得,圆的标准方程为()设过原点的直线的方程为,即,与圆无交点,圆心到直线的距离大于,解得.13某综艺频道举行某个水上娱乐游戏,如图,固定在水面上点处的某种设备产生水波圈,水波圈生产秒时的半径(单位: )满足; 是铺设在水面上的浮桥,浮桥的宽度忽略不计,浮桥两端固定在水岸边.游戏规定:当点处刚产生水波圈时,游戏参与者(视为一个点)与此同时从浮桥的端跑向端;若该参与者通过浮桥的过程中,从点处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置,则认定该参与
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